- •Часть I. Аналитическая геометрия
- •Введение
- •Глава 1. Векторная алгебра. Системы координат. §1. Направленные отрезки. Понятие вектора.
- •§ A 2. Операции над векторами.
- •§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.
- •§4. Проекция вектора на ось.
- •§5. Скалярное произведение векторов.
- •§6. Координаты вектора и точки на прямой.
- •§7. Координаты вектора и точки на плоскости.
- •§8. Координаты вектора и точки в пространстве.
- •§ 9. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 10. Векторное произведение.
- •§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах.
- •§12. Смешанное произведение векторов.
- •§13. Двойное векторное произведение.
- •§14. Полярная система координат на плоскости.
- •§15. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.
- •§16. Преобразование координат.
- •§17. Общее преобразование координат в пространстве.
- •§18. Примеры решения задач.
- •Глава 2. Прямые и плоскости §1. Уравнение кривой и поверхности.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости.
- •§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
- •§ 5. Уравнение прямой в полярных координатах.
- •§6. Пучок прямых.
- •§7. Уравнение плоскости в пространстве.
- •§8. Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости.
- •§9. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
- •§10. Уравнение прямой в пространстве.
- •§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми.
- •§13. Примеры решения задач.
- •Аналогично m3(–1,–3).
- •Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:
- •Точка d делит отрезок bc пополам. Поэтому
- •Отсюда находим
- •Глава 3. Кривые второго порядка §1. Эллипс.
- •§2. Гипербола.
- •7. Гипербола
- •§3. Конические сечения. Парабола.
- •§1 И в §2, совпадают с фокусами, определенными в этом параграфе. Кроме того, эллипс и гипербола имеют две пары фокус-директриса, и определить фигуру можно с помощью любой из пар.
- •§4. Касательные к коническим сечениям.
- •§5. Диаметры конических сечений.
- •§6. Уравнения конических сечений в полярной системе координат.
- •§7. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой.
- •§ 8. Классификация центральных кривых второго порядка (случай 0).
- •§10. Примеры решения задач.
- •Значит, кривая имеет центр. Найдем координаты центра (хo, yo) из системы уравнений (10):
- •Глава 4. Поверхности второго порядка §1. Цилиндрические поверхности.
- •§2. Конические поверхности.
- •§3. Поверхность вращения.
- •§4. Эллипсоид.
- •§5. Однополостной и двуполостной гиперболоиды.
- •§6. Эллиптический и гиперболический параболоиды.
- •§7. Классификация поверхностей второго порядка.
- •§8. Примеры решения задач
- •Приложение §1. Матрицы и определители.
- •§2. Правило Крамера.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель
- •Литература
§13. Двойное векторное произведение.
Определение. Двойным векторным трех векторов a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( называется вектор (a;\s\up8((b;\s\up9(( )c;\s\up8((.
О бозначим d;\s\up9(( = (a;\s\up8((b;\s\up9(( )c;\s\up8(( . Если a;\s\up8(( b;\s\up9((, то a;\s\up8(( b;\s\up9(( = o;\s\up8(( d;\s\up9(( = o;\s\up8(( . Пусть теперь a;\s\up8(( и b;\s\up9(( неколлинеарны. Согласно определению, векторное произведение перпендикулярно сомножителям
Поэтому d;\s\up9(( a;\s\up8((b;\s\up9((, a;\s\up8(( a;\s\up8((b;\s\up9((, b;\s\up9(( a;\s\up8((b;\s\up9(( .
Значит вектор d;\s\up9(( компланарен a;\s\up8(–( и b;\s\up9((. и мы можем разложить d;\s\up9(( через a;\s\up8(( и b;\s\up9((:
d;\s\up9(( = a;\s\up8(( + b;\s\up9((. (*)
(это верно и в случае d;\s\up9(( = o;\s\up8(( ). Вычислим коэффициенты этого разложения. По определению векторного произведения d;\s\up9(( c;\s\up8(( d;\s\up9(( ·c;\s\up8(( = 0. Домножим обе части равенства (*) скалярно на вектор c;\s\up8((:
0 = (a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( ) + ( b;\s\up9(( ·c;\s\up8(( ).
Очевидно, что уравнение x + y = 0 относительно неизвестных и имеет общее решение (– ky, kx), kR . Таким образом
( a;\s\up8(–(b;\s\up9(( )c;\s\up8(( = – k(b;\s\up9(( ·c;\s\up8(( )a;\s\up8(( + k(a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( )b;\s\up9((.
Для того, чтобы вычислить неизвестный координат k, мы вычислим обе части равенства в специально выбранной декартовой СК. Направим ось Ox a;\s\up8((, а Oy так, чтобы b;\s\up9(( был параллелен плоскости Oxy. Тогда a;\s\up8(((a1, 0, 0), b;\s\up9(((b1, b2, 0), c;\s\up8(((c1, c2, c3). Находим:
a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( = a1c1, b;\s\up9(( ·c;\s\up8(( = b1c1 + b2c2 ,
(b;\s\up9(( ·c;\s\up8(( )a;\s\up8((= (b1c1 + b2c2)a1i, (a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( )b;\s\up9(( = a1c1(b1i + b2j).
– k(b;\s\up9(( ·c;\s\up8(( )a;\s\up8(( + k(a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( )b;\s\up9(( = k(– a1b2c2 i + a1b2c2 j).
Сравнивая последнее равенство с (**) получаем k =1. Итак,
(a;\s\up8((b;\s\up9(()c;\s\up8(( = – (b;\s\up9(( ·c;\s\up8(( )a;\s\up8(( + (a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( )b;\s\up9((
a;\s\up8(((b;\s\up9(( c;\s\up8(( ) = – (b;\s\up9(( c;\s\up8(( )a;\s\up8(–( = b;\s\up9(( (a;\s\up8(( ·c;\s\up8(( ) – c;\s\up8((( a;\s\up8(( ·b;\s\up9(( ) . (23)
Именно в таком виде формулу для вычисления двойного векторного произведения и запоминают. Для этого есть у нее название «бац минус цаб».
Упражнение. Самостоятельно проверьте с помощью этой формулы тождество Якоби:
(a;\s\up8((b;\s\up9(( ) c;\s\up8(( + (b;\s\up9(( c;\s\up8(( ) a;\s\up8(( + (c;\s\up8(( a;\s\up8(( )b;\s\up9(( o;\s\up8((.
§14. Полярная система координат на плоскости.
В ыберем на плоскости произвольные точку O и ось OP, которая задается единичным направленным отрезком OE;\s\up10( –( . Пусть M – произвольная точка плоскости. Обозначим r = OM, = (OE;\s\up10( –(, OM;\s\up10( –() – ориентированный угол. Тогда пара (r, ) называется полярными координатами точки M.
Точка O называется полюсом, а OP – полярной осью. Совокупность точки O и оси OP называется полярной системой координат на плоскости.
Очевидно, что 0 r < + , а для угла обычно договариваются, что 0 < 2, либо, что – < . При этом, если r = 0, то считается неопределенным.
Найдем связь между декартовыми и полярными координатами точки M. Выберем декартову СК так, чтобы точка O была ее началом, а положительное направление оси Ox совпадало с направлением оси OP. Пусть M1 и M2 – проекции точки M на координатные оси Ox и Oy соответственно. Тогда из OMM1 и OMM2 получаем
x = r cos , r = ,
y = r sin . (14) = arctg . (14)
Но последнее равенство верно только для нашего чертежа, когда x > 0. Вообще, знание синуса, косинуса, или тангенса в отдельности не позволяет однозначно определить угол . Его следует находить сразу из двух равенств:
cos = x/r, sin = y/r,
либо так: = arccos , если y 0; = – arccos , если y < 0 (предполагается, что – < ). Использование арктангенса неудобно: надо оговаривать еще случай x = 0 и поэтому приходится писать 4 равенства.