- •Часть I. Аналитическая геометрия
- •Введение
- •Глава 1. Векторная алгебра. Системы координат. §1. Направленные отрезки. Понятие вектора.
- •§ A 2. Операции над векторами.
- •§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.
- •§4. Проекция вектора на ось.
- •§5. Скалярное произведение векторов.
- •§6. Координаты вектора и точки на прямой.
- •§7. Координаты вектора и точки на плоскости.
- •§8. Координаты вектора и точки в пространстве.
- •§ 9. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 10. Векторное произведение.
- •§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах.
- •§12. Смешанное произведение векторов.
- •§13. Двойное векторное произведение.
- •§14. Полярная система координат на плоскости.
- •§15. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.
- •§16. Преобразование координат.
- •§17. Общее преобразование координат в пространстве.
- •§18. Примеры решения задач.
- •Глава 2. Прямые и плоскости §1. Уравнение кривой и поверхности.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости.
- •§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
- •§ 5. Уравнение прямой в полярных координатах.
- •§6. Пучок прямых.
- •§7. Уравнение плоскости в пространстве.
- •§8. Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости.
- •§9. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
- •§10. Уравнение прямой в пространстве.
- •§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми.
- •§13. Примеры решения задач.
- •Аналогично m3(–1,–3).
- •Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:
- •Точка d делит отрезок bc пополам. Поэтому
- •Отсюда находим
- •Глава 3. Кривые второго порядка §1. Эллипс.
- •§2. Гипербола.
- •7. Гипербола
- •§3. Конические сечения. Парабола.
- •§1 И в §2, совпадают с фокусами, определенными в этом параграфе. Кроме того, эллипс и гипербола имеют две пары фокус-директриса, и определить фигуру можно с помощью любой из пар.
- •§4. Касательные к коническим сечениям.
- •§5. Диаметры конических сечений.
- •§6. Уравнения конических сечений в полярной системе координат.
- •§7. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой.
- •§ 8. Классификация центральных кривых второго порядка (случай 0).
- •§10. Примеры решения задач.
- •Значит, кривая имеет центр. Найдем координаты центра (хo, yo) из системы уравнений (10):
- •Глава 4. Поверхности второго порядка §1. Цилиндрические поверхности.
- •§2. Конические поверхности.
- •§3. Поверхность вращения.
- •§4. Эллипсоид.
- •§5. Однополостной и двуполостной гиперболоиды.
- •§6. Эллиптический и гиперболический параболоиды.
- •§7. Классификация поверхностей второго порядка.
- •§8. Примеры решения задач
- •Приложение §1. Матрицы и определители.
- •§2. Правило Крамера.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель
- •Литература
Приложение §1. Матрицы и определители.
Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Матрицу принято обозначать большой буквой латинского алфавита, а её элементы – такой же маленькой буквой с двумя индексами, первый (или верхний) из которых обозначает номер строки, а второй (или нижний) – номер столбца, в которых находится данный элемент. Например,
1 2 3 4
5 6 7 8
Это матрица, состоящая из 2 строк и 4 столбцов. Говорим, что она имеет размер 24. В ней a11= 1, a12= 2, а a21= 6. Матрица размера nn называется квадратной матрицей порядка n.
Элементы квадратной матрицы, у которых номера строки и столбца совпадают, образуют главную диагональ. Если все элементы, стоящие вне диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной. Диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы называется единичной и обозначается буквой E. Например, единичная матрица порядка 3 имеет вид
1 0 0
E = 0 1 0
0 0 1
Если все элементы матрицы, стоящие ниже (выше) главной диагонали равны нулю, то матрица называется верхнетреугольной (нижнетреугольной).
Понятие определитель вводится только для квадратных матриц. Определитель матрицы A обозначается detA. Если вместо круглых скобок вокруг матрицы мы поставим прямые палочки, то это тоже означает определитель матрицы. Определитель матрицы порядка 2 вычисляется по формуле:
a11 a12
a21 a22
Обозначим Mij – это определитель матрицы, которая получается из матрицы A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Он называется минором, дополнительным к элементу aij. Тогда определитель матрицы порядка 3 можно вычислить с помощью разложения по первой строке:
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11M11 – a12M12 + a13M13 = a11 – a12 + a13 .
a31 a32 a33
Пример.
1 2 3
4 5 6 =1· – 2· + 3· = 1· (5· 9 – 6 · 8) – 2· (4· 9 – 6·7) + 3· (4·8 – 5·7) =
7 8 9
= –3 +12 – 9 = 0.
Свойства определителя.
1. Если одна строка или столбец определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю.
2. Если определитель содержит две одинаковые или пропорциональные строки (два одинаковых или пропорциональных столбца), то он равен нулю.
3. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.
4. Общий множитель элементов одной строки (столбца) выносится за знак определителя.
В предыдущем примере все элементы третьего столбца кратны трём. Поэтому мы можем вынести множитель 3 за знак определителя:
1 2 3 1 2 1
4 5 6 = 3· 4 5 2
7 8 9 7 8 3
5. Если к элементам одной строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), домноженные на некоторое число, то определитель матрицы не изменится.
Вычтем в нашем примере из второй и третьей строки первую строку (сама первая строка при этом остается на своем месте без изменений):
1 2 3 1 2 3
4 5 6 = 3 3 3
7 8 9 6 6 6
Мы получили две пропорциональные строки, следовательно, определитель равен нулю.
6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:
1 2 –1
0 –3 6 = 1· (–3) · 9 = – 27
0 0 9
Диагональная матрица является частным случаем треугольной. Поэтому её определитель тоже равен произведению диагональных элементов.