- •Часть I. Аналитическая геометрия
- •Введение
- •Глава 1. Векторная алгебра. Системы координат. §1. Направленные отрезки. Понятие вектора.
- •§ A 2. Операции над векторами.
- •§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.
- •§4. Проекция вектора на ось.
- •§5. Скалярное произведение векторов.
- •§6. Координаты вектора и точки на прямой.
- •§7. Координаты вектора и точки на плоскости.
- •§8. Координаты вектора и точки в пространстве.
- •§ 9. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 10. Векторное произведение.
- •§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах.
- •§12. Смешанное произведение векторов.
- •§13. Двойное векторное произведение.
- •§14. Полярная система координат на плоскости.
- •§15. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.
- •§16. Преобразование координат.
- •§17. Общее преобразование координат в пространстве.
- •§18. Примеры решения задач.
- •Глава 2. Прямые и плоскости §1. Уравнение кривой и поверхности.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости.
- •§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
- •§ 5. Уравнение прямой в полярных координатах.
- •§6. Пучок прямых.
- •§7. Уравнение плоскости в пространстве.
- •§8. Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости.
- •§9. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
- •§10. Уравнение прямой в пространстве.
- •§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми.
- •§13. Примеры решения задач.
- •Аналогично m3(–1,–3).
- •Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:
- •Точка d делит отрезок bc пополам. Поэтому
- •Отсюда находим
- •Глава 3. Кривые второго порядка §1. Эллипс.
- •§2. Гипербола.
- •7. Гипербола
- •§3. Конические сечения. Парабола.
- •§1 И в §2, совпадают с фокусами, определенными в этом параграфе. Кроме того, эллипс и гипербола имеют две пары фокус-директриса, и определить фигуру можно с помощью любой из пар.
- •§4. Касательные к коническим сечениям.
- •§5. Диаметры конических сечений.
- •§6. Уравнения конических сечений в полярной системе координат.
- •§7. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой.
- •§ 8. Классификация центральных кривых второго порядка (случай 0).
- •§10. Примеры решения задач.
- •Значит, кривая имеет центр. Найдем координаты центра (хo, yo) из системы уравнений (10):
- •Глава 4. Поверхности второго порядка §1. Цилиндрические поверхности.
- •§2. Конические поверхности.
- •§3. Поверхность вращения.
- •§4. Эллипсоид.
- •§5. Однополостной и двуполостной гиперболоиды.
- •§6. Эллиптический и гиперболический параболоиды.
- •§7. Классификация поверхностей второго порядка.
- •§8. Примеры решения задач
- •Приложение §1. Матрицы и определители.
- •§2. Правило Крамера.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель
- •Литература
§2. Конические поверхности.
О пределение. Конической называется поверхность, которую образует множество всех прямых (образующих), проходящих через каждую точку некоторой кривой (направляющей), и через некоторую точку O (вершину).
Выберем декартову СК так, чтобы начало координат совпадало с вершиной конической поверхности . Пусть F(x, y, z) = 0 – уравнение поверхности в этой СК. Поскольку мы рассматриваем только поверхности второго порядка, то F – многочлен второй степени от 3 переменных. Тогда функция двух переменных
(x, y) = F(x, y, c)
будет также многочленом второй степени для любого cR, а система
(x, y) = 0,
z = c
будет задавать сечение поверхности плоскостью z = c. Получающуюся в сечении кривую выберем в качестве
направляющей. Т.к. (x, y) – многочлен 2 степени, то – кривая 2 порядка. Если – центральная, то можем считать, что ось Oz проходит через ее центр.
Предположим сначала, что направляющая – эллипс
: + – 1 = 0, (*)
z = c
Пусть M(x1, y1, z1) – произвольная точка поверхности . Тогда вся прямая OM должна лежать на поверхности. Ее параметрическое уравнение:
x = x1t,
OM: y = y1t,
z = z1t.
Пусть она пересекает направляющую в точке Mo(xo, yo, c). Тогда ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой OM:
xo = x1t, xo = x1c/z1,
yo = y1t, yo = y1c/z1,
c = z1. t = c/z1.
А теперь подставим найденные выражения в уравнение эллипса:
+ – 1 = 0.
Домножим это уравнение на z1/c, и получим
+ – = 0. (2)
Обратно, пусть координаты точки M(x1, y1, z1) удовлетворяют уравнению (2). Тогда этому уравнению удовлетворяют и координаты любой точки на прямой OM:
+ – = t 2( + – ) = t 2·0 = 0,
а подставив в (2) z = c, получим уравнение эллипса (*). Значит, (2) и есть уравнение конической поверхности. Опуская индексы, окончательно получаем каноническое уравнение конуса.
z
Аналогично, если направляющая кривая – это гипербола
– – 1 = 0,
z = c ,
получим уравнение конической поверхности
– – = 0 – + + = 0.
Это такой же «эллиптический» конус, только ось его будет не Oz, а Oz.
Пусть теперь направляющая – это парабола
z
z = c .
Т
z
c
П
O
y
x = x,
x
y
Подставим эти формулы в (**), и обозначив a2 = p/c, получим
x2 = a2(– y 2 + z 2) + y 2 – z 2 = 0.
Таким образом, уравнение (**) тоже определяет конус, ось которого является биссектрисой угла yOz. При этом, оси Oy и Oz принадлежат конусу. Поэтому плоскость, в которой лежит направляющая , параллельна образующей.
Мы уже говорили в предыдущей главе, что эллипс, гипербола и парабола – это конические сечения. Теперь мы в этом убедились.
Е сли направляющей служит пара прямых, то коническая поверхность представляет собой пару плоскостей, обязательно пересекающихся или совпадающих, т.к. обе плоскости должны проходить через начало координат. Эти поверхности относятся также к цилиндрическим и они были рассмотрены в предыдущем параграфе.
И
z
1 . Конус + – = 0.
2. Пара пересекающихся плоскостей a2x2 – b2 y2 = 0 .
3
y
O
4
x