§8. Координаты вектора и точки в пространстве.

Пусть в пространстве заданы три некомпланарных вектора a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8((. Назовем их базисными, а тройку B = {a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8((} – базисом. Пусть O – произвольная точка. Четверку R = {O, a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8((} назовем аффинным репером в пространстве. Пусть d;\s\up9(( – произвольный вектор. Отложим все векторы из точки O:

a;\s\up8(( = OA;\s\up10( –( , b;\s\up9(( = OB;\s\up10( –(,

c;\s\up8(( = OC;\s\up10( –(, d;\s\up9(( = OD;\s\up10( –(.

Проведем прямые l₁ = OA, l₂ = OB, l₃ = OC. Построим параллелепипед так, чтобы три его ребра лежали на этих прямых, а точка D была вершиной. Пусть A₁, B₁, C₁ – вершины параллелепипеда, лежащие на прямых l₁, l₂, l₃, а D₁ – четвертая вершина основания. Пусть

a1;\s\up8(( = OA1;\s\up10( –(, b1;\s\up9(( = OB1;\s\up10( –(, с1;\s\up8(( = OC1;\s\up10( –(, d1;\s\up9(( = OD1;\s\up10( –(.

Тогда c1;\s\up8(–( = D1D;\s\up10( –(, и по правилу треугольника d;\s\up9(( = d1;\s\up9(( + с1;\s\up8(( . А по правилу параллелограмма с1;\s\up8(( = a1;\s\up8(( + b1;\s\up9(( . Значит, d;\s\up9(( = a1;\s\up8(( + b1;\s\up9(( + с1;\s\up8(( . Но a1;\s\up8(( ^|| a;\s\up8((, b1;\s\up9(( ^|| b;\s\up9((, с1;\s\up8(( ^|| c;\s\up8((, и по признаку коллинеарности векторов существуют такие числа x₁, x₂, x₃, что a1;\s\up8(( = x₁a;\s\up8((, b1;\s\up9(( = x₂b;\s\up9((, с1;\s\up8(( = x₃c;\s\up8(( 

d;\s\up9(( = x₁a;\s\up8(( + x₂b;\s\up9(( + x₃c;\s\up8(( . (5)

Это выражение называется разложением вектора d;\s\up9(( по базису B . Числа x₁, x₂, x₃ называются координатами вектора d;\s\up9(( в этом базисе. Они же называются координатами точки D относительно репера R . Пишем d;\s\up9(((x₁, x₂, x₃ )_B , D(x₁, x₂, x₃ )_R . Репером также называют четверку точек {O, A, B, C}.

Вектор d;\s\up9(( называется радиус-вектором точки D в данном репере. Таким образом, по определению координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Точка O называется началом координат, прямые l₁, l₂, l₃, вместе с выбранными на них направленными отрезками OA;\s\up10( –(, OB;\s\up10( –(, OC;\s\up10( –(, называются координатными осями, а совокупность координатных осей и начала называется аффинной системой координат в пространстве. Иногда репером называют четвёрку точек {O, A, B, C}, не лежащих в одной плоскости.

Если мы выберем другое начало координат, то та же самая точка D будет задаваться другим радиус-вектором  ее координаты изменятся. Координаты же вектора d;\s\up9(( не зависят от выбора начала координат. Действительно, пусть имеем еще одно разложение

d;\s\up9(( = y₁a;\s\up8(( + y₂b;\s\up9(( + y₃c;\s\up8(–(, (5' )

где, например, y₃ ≠ x₃ . Вычтем (5' ) из (5):

o;\s\up8(–( = (x₁ – y₁)a;\s\up8(( + (x₂ – y₂)b;\s\up9(( + (x₃ – y₃)c;\s\up8((, 

c;\s\up8(–( = a;\s\up8(( + b;\s\up9((.

З начит, вектор c;\s\up8(( лежит в одной плоскости с векторами a;\s\up8(( и b;\s\up9((. А мы с самого начала предполагали, что векторы a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( некомпланарны. Противоречие. Значит, y₃ = x₃ . Аналогично доказывается, что y₂ = x₂, y₁ = x₁.

Так же, как и на плоскости доказывается, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. А для того, чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца отнять координаты начала.

Е сли векторы a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( единичные и взаимно ортогональные, то базис B и репер R называются ортонормированными. Если, к тому же, векторы a;\s\up8((, b;\s\up9((, c;\s\up8(( образуют правую тройку, то СК называется декартовой. В этом случае приняты обозначения базисных векторов i, j, k ; координат – x, y, z; координатных осей – Ox, Oy, Oz; направленных отрезков на осях – OE₁, OE₂, OE₃.

Векторы i, j, k называются базисными ортами.

Так же, как и на плоскости доказывается, что в декартовой СК координаты вектора совпадают с его скалярными проекциями на координатные оси.

Пусть  =( i, d;\s\up9(( ),  =( j, d;\s\up9(( ),  =( j, d;\s\up9(( ). Тогда величины cos , cos , cos  называются направляющими косинусами вектора d;\s\up9((.

Они обладают свойством: cos² + cos² + cos² = 1.

Теорема 1. (второй признак коллинеарности векторов).

Для того, чтобы два ненулевых вектора на плоскости или в пространстве были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны ( a;\s\up8(((a₁, a₂, a₃) b;\s\up9(((b₁, b₂, b₃)  _{= = )}.

Доказательство. Согласно первому признаку коллинеарности векторов a;\s\up8(( ^|| b;\s\up9((  : a;\s\up8(( = b;\s\up9((  a₁= b₁, a₂ = b₂, a₃ = b₃   _{= = =}  .