- •Часть I. Аналитическая геометрия
- •Введение
- •Глава 1. Векторная алгебра. Системы координат. §1. Направленные отрезки. Понятие вектора.
- •§ A 2. Операции над векторами.
- •§3. Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.
- •§4. Проекция вектора на ось.
- •§5. Скалярное произведение векторов.
- •§6. Координаты вектора и точки на прямой.
- •§7. Координаты вектора и точки на плоскости.
- •§8. Координаты вектора и точки в пространстве.
- •§ 9. Деление отрезка в данном отношении.
- •§ 10. Векторное произведение.
- •§11. Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах.
- •§12. Смешанное произведение векторов.
- •§13. Двойное векторное произведение.
- •§14. Полярная система координат на плоскости.
- •§15. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.
- •§16. Преобразование координат.
- •§17. Общее преобразование координат в пространстве.
- •§18. Примеры решения задач.
- •Глава 2. Прямые и плоскости §1. Уравнение кривой и поверхности.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости.
- •§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
- •§ 5. Уравнение прямой в полярных координатах.
- •§6. Пучок прямых.
- •§7. Уравнение плоскости в пространстве.
- •§8. Уравнение плоскости в нормальной форме. Расстояние от точки до плоскости.
- •§9. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
- •§10. Уравнение прямой в пространстве.
- •§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •§12. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми.
- •§13. Примеры решения задач.
- •Аналогично m3(–1,–3).
- •Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:
- •Точка d делит отрезок bc пополам. Поэтому
- •Отсюда находим
- •Глава 3. Кривые второго порядка §1. Эллипс.
- •§2. Гипербола.
- •7. Гипербола
- •§3. Конические сечения. Парабола.
- •§1 И в §2, совпадают с фокусами, определенными в этом параграфе. Кроме того, эллипс и гипербола имеют две пары фокус-директриса, и определить фигуру можно с помощью любой из пар.
- •§4. Касательные к коническим сечениям.
- •§5. Диаметры конических сечений.
- •§6. Уравнения конических сечений в полярной системе координат.
- •§7. Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой.
- •§ 8. Классификация центральных кривых второго порядка (случай 0).
- •§10. Примеры решения задач.
- •Значит, кривая имеет центр. Найдем координаты центра (хo, yo) из системы уравнений (10):
- •Глава 4. Поверхности второго порядка §1. Цилиндрические поверхности.
- •§2. Конические поверхности.
- •§3. Поверхность вращения.
- •§4. Эллипсоид.
- •§5. Однополостной и двуполостной гиперболоиды.
- •§6. Эллиптический и гиперболический параболоиды.
- •§7. Классификация поверхностей второго порядка.
- •§8. Примеры решения задач
- •Приложение §1. Матрицы и определители.
- •§2. Правило Крамера.
- •Используемые сокращения
- •Алфавитный указатель
- •Литература
§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
Определение. Говорим, что общее уравнение прямой
Ax + By + C = 0 , (14)
имеет нормальную форму, если A2+B 2 = 1. Это равносильно тому, что вектор n;\s\up8(( (A, B) – единичный.
Если уравнение (14) не имеет нормальной формы, то мы можем привести его к этой форме, разделив на :
x + y + = 0.
Тогда 2 + 2 = 1.
Теорема 3. Пусть прямая l определяется уравнением (14) в нормальной форме. Тогда расстояние от точки M(x1, y1) до прямой вычисляется по формуле
h =Ax1+ By1+ C . (17)
С ледствие. Если прямая определяется произвольным уравнением вида (14), то
h = . (17 )
Доказательство. Пусть n;\s\up8(((A, B) – вектор нормали к l. Поскольку уравнение имеет нормальную форму, то n;\s\up8(( = 1. Пусть Mo(xo, yo) – произвольная точка на прямой. Опустим перпендикуляр MN
на прямую l . Пусть =( n;\s\up8((, MoM;\s\up10( –(), =MMoN .
1 случай. Точка M и вектор n;\s\up8(( лежат в одной полуплоскости относительно прямой l. Тогда
h =MN=MMo·sin =MoM;\s\up10( –(·sin( – ) =
=MoM;\s\up10( –(·cos ·n;\s\up8((= MoM;\s\up10( –( · n;\s\up8((
(мы домножили на n;\s\up8((, поскольку эта величина равна единице). Находим, что MoM;\s\up10( –( (x1– xo, y1– yo)
h = A(x1– xo) + B(y1– yo) = Ax1+By1+C – (Axo+Byo+C)
(мы добавили и отняли C ). Поскольку Mo l, то выражение в скобках равно нулю, и мы получаем
h = Ax1+ By1+ C.
2 случай. Точка M и вектор n;\s\up8(( лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l. Тогда = – /2 sin = – cos и те же самые вычисления дают
h = – MoM;\s\up10( –( · n;\s\up8(( = –Ax1 – By1 – C.
Поскольку h – это расстояние, то h 0. Это
значит, что во втором случае Ax1+ By1+ C < 0 (равенство исключается, т.к. M l). Поэтому
h =Ax1+ By1+ C .
Э та формула подойдет и к первому случаю.
Попутно мы выяснили, что знак выражения Ax1+ By1+ C зависит от того, в какой полуплоскости находится точка M. Это позволяет для двух данных точек M1, M2 выяснить, лежат ли они в одной полуплоскости относительно прямой l или в разных ( пересекает отрезок M1M2 прямую l или нет).
§ 5. Уравнение прямой в полярных координатах.
Пусть на плоскости заданы прямая l и полярная система координат, OP – полярная ось. Опустим перпендикуляр ON из полюса на прямую l. Обозначим p =ON – его длина, – ориентированный угол между OP и ON. Пусть M(r, ) – произвольная точка прямой.
Т огда из OMN находим
p = r·cos( – ) или p = r·cos( – ). (18)
Поскольку косинус четная функция, то достаточно только первого уравнения.
Обратно, если координаты точки M(r, ) удовлетворяют (18), то OMN – прямоугольный M l.
Итак, (18) представляет собой уравнение прямой в полярных координатах.
Введем теперь декартову СК так, чтобы Ox OP. Уравнение (18) можно переписать так:
r cos cos + r sin sin – p = 0.
Согласно формулам перехода r·cos = x, r·sin = y
x cos + y sin – p = 0. (19)
Э то уравнение называют нормальным уравнением прямой. Еще раз отметим геометрический смысл используемых в этом уравнении параметров: p – это длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а – ориентированный угол между осью Ox и этим перпендикуляром. Поскольку cos2 + sin2 = =1, то это уравнение имеет нормальную форму, как это было определено в предыдущем параграфе.
Упражнение. Пусть две прямые заданы своими уравнениями в полярных координатах: l1: p1 = r·cos(1 – ), l2: p2 = r·cos(2 – ). Выпишите условия параллельности и совпадения этих прямых, а также найдите угол между ними. Найдите, чему равно расстояние между l1 и l2, если они параллельны.