6.2. Критериальный способ описания выбора

Наиболее развитым и чаще всего применимым при решении задач выбора является критериальный подход. При применении данного под­хода предполагается, что каждую отдельно взятую альтернативу мож­но оценить численно, значением критерия. Тогда сравнение альтерна­тив сводится к сопоставлению соответствующих им чисел.

В зависимости от объекта и цели исследования критерии или пара­метры оптимизации могут быть весьма разнообразны. Чтобы ориентироваться в этом многообразии, введем некоторую классификацию. Итак, среди множества параметров оптимизации выделяют: экономические, технико-экономические, технологические, статистические, психологические, эстетические и т.п. Примерами экономических парамет­ров могут служить прибыль, рентабельность, себестоимость; технико-экономических - производительность, надежность, долговечность; технологических - выход продукта, характеристики качества и пр.

Критерий или параметр оптимизации - это признак, по которому оптимизируют процесс принятия решений. Критерий должен быть количественным, задаваться числом. Необходимо уметь измерять его при любой возможной комбинации воздействующих на исследуемую систему факторов. Множество значений, которые может принимать критерий (параметр оптимизации), называют областью его определе­ния. Области определения могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченными. Например, выход реакции - это параметр оптимизации с непрерывной, ограниченной областью определения. Он может изменяться от 0 до 100%. Число бракованных изделий, число кровяных телец в пробе крови - примеры параметров с дис­кретной областью определения, ограниченной снизу. Если нет способа количественного измерения результата, то приходится пользоваться подходом, называемым ранжированием (ранговым подходом). В этом случае параметрам оптимизации присваивается оценка - ранг по зара­нее выбранной шкале. Ранг - это количественная оценка параметра оптимизации. Она носит условный субъективный характер. Чаще все­го ранжирование используется в тех случаях, когда требуется оценить качественный признак. Ранговый параметр имеет дискретную область определения. В простейшем случае область содержит два значения (да - нет, хорошо - плохо). Это может соответствовать способу оценки качества продукции, является она годной или бракованной. Другим при­мером субъективной оценки может служить оценка знаний на экзаме­не. Знание - абстрактный параметр. В этом случае оценка знания осу­ществляется путем проставления ранга, определенного, скажем, по пя­тибалльной шкале.

Для каждого физически измеряемого параметра оптимизации можно построить ранговый аналог. Потребность в построении такого аналога возникает, если имеющиеся в распоряжении исследователя численные характеристики неточны или неизвестен способ построения удовлетво­рительных численных оценок. При прочих равных условиях всегда нужно отдавать предпочтение физическому измерению, так как ранговый под­ход менее чувствителен и с его помощью трудно изучать тонкие эф­фекты.

Желательно, чтобы параметр оптимизации выражался одним числом. Иногда это получается естественным образом, когда речь идет, скажем, о результатах измерения некоторым прибором. В ряде случаев приходится для определения параметра оптимизации производить вычисления.

Еще одно требование, связанное с количественной природой параметра оптимизации - однозначность в статистическом смысле. Задан­ному набору значений, воздействующих на исследуемую систему факторов, должно соответствовать одно определенное с точностью до ошибки эксперимента значение параметра оптимизации. Однако обрат­ное утверждение неверно: одному и тому же значению параметра могут соответствовать разные наборы значений факторов.

Для успешного достижения цели исследования необходимо, чтобы параметр оптимизации действительно оценивал эффективность функ­ционирования системы в заранее выбранном смысле. Это требование является главным, определяющим корректность постановки задачи.

Следующее требование к параметру оптимизации - требование уни­версальности и полноты. Под универсальностью параметра оптимиза­ции понимается его способность всесторонне характеризовать объект. Универсальностью обладают обобщенные параметры оптимизации, которые строятся как функции от нескольких частных параметров. Желательно, чтобы параметр оптимизации имел физический смысл, был простым и легко вычисляемым. Требование физического смысла свя­зано с необходимостью последующей интерпретации результатов про­цедуры принятия решений.

Рассмотрим постановку задачи критериального выбора. Пусть х -некоторая альтернатива из множества X. Считается, что для всех х Є X может быть задана функция q(х), которая называется критерием или параметром оптимизации (критерием качества, целевой функци­ей, функцией предпочтения, функцией полезности и т.д.) и облада­ет тем свойством, что если альтернатива x₁ предпочтительнее альтер­нативы х₂ (будем обозначать это x₁ > х₂), то q(x₁)>q(x₂) и обратно.

Если теперь сделать еще одно важное предположение, что выбор любой альтернативы приводит к однозначно известным последствиям (т.е. считать, что выбор осуществляется в условиях определенности) и заданный критерий q(х) численно выражает оценку этих последствий, то наилучшей альтернативой х* является, естественно, та, которая об­ладает наибольшим значением критерия:

Задача определения оптимального решения х*, простая по постановке, часто оказывается сложной для решения, поскольку метод ее ре­шения (да и сама возможность решения) определяется как характером множества X, так и видом критерия. На возможность решения задачи оптимизации критерия оказывает влияние размерность вектора х и тип множества Х- является ли оно конечным, счетным или континуальным. В свою очередь критерий может быть сформулирован в виде функции или функционала.

Однако сложность определения наилучшей альтернативы на практике существенно возрастает, так как оценивание любого варианта единственным числом обычно оказывается неприемлемым упрощени­ем. Более полное рассмотрение альтернатив приводит к необходимос­ти оценивать их не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой. При решении конкретных задач систем­ным аналитикам следует учитывать множество критериев: техничес­ких, технологических, экономических, социальных, эргономических и пр.

Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев q_i(х), i=1,…,p. Теоретически можно представить себе слу­чай, когда в множестве X покажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями всех p критериев; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как же тогда осуществлять выбор.

Путь к единому параметру оптимизации часто лежит через обоб­щение. Из многих критериальных функций, определяющих альтернати­ву, трудно выбрать один, самый важный. Будем рассматривать ситуа­цию, когда необходимо множество критериальных функций свернуть в единый количественный признак. Каждый критерий в общем случае имеет свой физический смысл и свою размерность. Чтобы объединить различные критерии, прежде всего, приходится вводить для каждого из них некоторую безразмерную шкалу. Шкала должна быть однотипной для всех объединяемых критериев - это делает их сравнимыми.

Рассмотрим наиболее употребительные способы решения много­критериальных задач. Первый способ состоит в том, чтобы многокри­териальную задачу свести к однокритериальной. Это означает введе­ние суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента:

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине, выделив тем самым наилучшую (в смысле этого критерия). Вид функции q_о определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий. Обычно для реализации данной процедуры используют аддитивные

или мультипликативные функции

Коэффициенты S_i обеспечивают безразмерность критериального значения (частные критерии могут иметь разную размерность, и тогда некоторые арифметические операции над ними, например сложение, не имеют смысла). Коэффициенты α_i, β_i отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий.

Итак, при данном способе задача сводится к максимизации суперкритерия:

Очевидные достоинства объединения нескольких критериев в один суперкритерий сопровождаются рядом трудностей и недостатков, ко­торые необходимо учитывать при использовании этого метода.

Рассмотрим примеры построения обобщенных критериальных по­казателей. Пусть рассматриваемая альтернатива характеризуется п частными критериальными функциями q_i(i=1,2,…,p). Каждая из функ­ций q_i имеет свой физический смысл и, чаще всего, свою размерность. Введем простейшее преобразование: набор данных для каждого q_i по­ставим в соответствие с самым простым стандартным аналогом -шкалой, на которой имеется только два значения: 0 - брак, неудовлет­ворительное качество, 1 - годный продукт, удовлетворительное качест­во. В ситуации, когда каждый преобразованный критерий принимает только два значения 0 и 1, естественно желать, чтобы и обобщенный критерий принимал одно из двух возможных значений, причем так, что­бы значение 1 имело место тогда и только тогда, когда все частные критериальные показатели приняли бы значение равное 1 . Если же, хотя бы один из показателей принял значение, равное 0, то и обобщенный критерий будет равным нулю. В этом случае для построения обобщен­ного критериального показателя естественно воспользоваться форму­лой

где -обобщенный критериальный показатель; - частные критериальные функции.

Если для каждого из частных критериев известен «идеал», к кото­рому нужно стремиться, то можно предложить следующий метод по­строения обобщенного параметра оптимизации (критериального пока­зателя). Пусть - наилучшее (идеальное) значение -го критерия. Тогда ( )- мера близости к идеалу. Поскольку при построении обоб­щенного критериального показателя необходимо, чтобы различные по­казатели были сопоставимы, надо привести их к безразмерному значе­нию. Это можно осуществить, отнормировав полученное отклонение следующим образом

Чтобы исключить влияние знаков, возведем последнее выражение в квадрат

Тогда обобщенный критериальный показатель можно записать

Если все частные критерии совпадают с идеалом, то станет рав­ным нулю. В таком правиле определения обобщенного критериального показателя каждый частный критерий входит в формулу на равных пра­вах. На практике показатели бывают далеко не равноправны.

Если удается построить обобщенный критериальный показатель, то метод поиска оптимального решения будет аналогичен методу оптими­зации в случае единственного критерия. В зависимости от вида крите­риального показателя в качестве метода решения могут быть исполь­зованы прямые оптимизационные процедуры, в случае невозможности аналитического решения используются численные методы.

Вторым способом решения задач выбора в условиях наличия не­скольких критериальных показателей является сведение задачи к за­даче условной максимизации. Данный метод решения задач выбора целесообразно применять в тех случаях, когда заведомо известно, что частные критерии неравнозначны между собой, одни из них более важ­ны, чем другие. В этом случае происходит выделение основного, глав­ного критерия, остальные рассматриваются как вспомогательные, до­полнительные к выделенному. Такое разделение критериев позволяет сформулировать задачу принятия решений как задачу определения ус­ловного экстремума:

где через обозначен основной критерий; - вспомогательные или второстепенные критериальные функции. В ограничениях могут иметь место различные сочетания знаков: от строгого равенства до строгого неравенства. Например, если вспомогательный критерий ха­рактеризует стоимость затрат, то разумнее задавать их верхний уро­вень и формулировать задачу с ограничениями в виде неравенств.

Следующий способ многокритериального выбора состоит в срав­нении альтернатив между собой по всем сформированным критериям и выделении подмножества наилучших альтернатив. В данном подхо­де отказываются от поиска одной единственной наилучшей альтерна­тивы. Решающее правило в этом случае строится на основе аксиомы В. Парето, которая формулируется следующим образом: «Если в зада­че принятия решений частные критерии независимы по предпочтению и значение каждого из них желательно увеличивать, то из двух альтер­натив, характеризуемых набором частных критериев, предпочтительнее та, для которой выполняются соотношения по всем i, где первый индекс характеризует номер стратегии, второй индекс -номер частного критерия. То есть первая альтернатива предпочтитель­нее второй только в том случае, когда значения ее частных критериев не меньше значений частных критериев второй альтернативы. Если все значения частных критериев одной альтернативы равны значениям кри­териев другой, то альтернативы равнозначны». Таким образом, пред­почтение одной альтернативе перед другой можно отдавать только если первая по всем критериям лучше второй. Если же предпочтение хотя бы по одному критерию расходится с предпочтением по другому, то такие альтернативы признаются несравнимыми. В результате попарного сравнения альтернатив все худшие по всем критериям альтернативы от­брасываются, а все оставшиеся несравнимые между собой принима­ются. Если все максимально достижимые значения частных критери­ев не относятся к одной и той же альтернативе, то принятые альтерна­тивы образуют множество Парето и выбор на этом заканчивается. При необходимости выбора единственной альтернативы следует привлекать дополнительные соображения: либо корректировать систему предпоч­тений, либо обращаться к услугам экспертов, либо воспользоваться ме­тодами; рассмотренными ранее (построение обобщенного критерия или сведение задачи к задаче поиска условного экстремума).