6.5. Принятие решений в условиях стохастической

неопределенности

При решении вопросов системных исследований, таких как проек­тирование автоматизированных систем, организация их эксплуатации и т.п. возникает большое количество задач, в основе которых лежат ве­роятностные модели объектов или процессов, описывающих исследуе­мые явления. Примерами таких задач являются задачи оценивания параметров эффективности и надежности технических средств, прогно­зирование поведения параметров системы, задачи, связанные с конт­ролем работоспособности и диагностикой неисправностей при функционировании систем и отдельных компонентов, задачи организации оп­тимального обслуживания технических средств, задачи обоснования срока службы отдельных элементов, узлов, подсистем. В большинстве случаев существуют естественные вероятностные модели, отражаю­щие реальный ход процессов динамического поведения объектов. Эти модели строятся на основе математических, физических или техничес­ких закономерностей, отражающих функционирование отдельных объек­тов, воздействие объектов друг на друга. В ряде случаев для построе­ния вероятностной модели используется объективная информация о поведении объектов в процессе эксплуатации. По результатам обработки этой информации с помощью специальных методов математической статистики производят построение зависимостей. Например, существу­ющие методы проверки статистических гипотез позволяют обоснованно подойти к выбору закона распределения некоторой случайной величины на основании реализовавшихся значений.

И, наконец, существуют ситуации, когда построение вероятностной модели происходит субъективно, на основании интуиции и опыта сис­темного аналитика. При построении вероятностной модели на основа­нии субъективной информации необходимо тщательно анализировать комбинации состояний динамических объектов, возможность появле­ния критических ситуаций, степень вероятности ситуаций. Необходимо также привлекать информацию о сходных процессах, результатах при­ближенных расчетов.

Следует заметить, что при построении вероятностных моделей про­цессов предпочтение следует отдавать моделям, учитывающим объек­тивные данные. Субъективнее оценки необходимо применять, когда отсутствуют возможности для получения объективных данных. Одна­ко в некоторых задачах учет субъективных вероятностей наряду с объективной информацией бывает весьма полезным. При формирова­нии субъективных вероятностей исследователь должен постараться выразить вероятности рассматриваемых событий через вероятности бо­лее простых явлений, которые либо являются заданными, либо подда­ются объективной оценке или вычислению.

Общей чертой всех подобных задач является необходимость вы­бора на основании косвенных или прямых, но обязательно «зашумленных» данных. Основным предположением для формализации решения задач такого типа является предположение о вероятностном характере экспериментальных данных.

Методологической основой для решения задач выбора в такой по­становке является теория оптимальных статистических решений. В основе данной теории лежит понятие статистической функции риска.

Рассмотрим постановку задачи. Будем считать заданным вероят­ностное распределение Р на множестве возможных исходов Y, причем значение Р(y) определено для каждого исхода у. Предположим, что системный аналитик, не зная результата развития системы, должен принять решение, последствия которого зависят от этого результата (исхода). Пусть X множество всех возможных решений, которые мо­жет принять исследователь. Положим, что в результате выбора реше­ния х и реализации исхода y исследователь получает доход r, принадле­жащий пространству всех возможных доходов R. Понятие «доход» обыч­но определяют через полезность, которая служит для численного вы­ражения предпочтений лица, принимающего решения.

Элементы множества R, которые названы доходами, могут быть весьма сложными объектами. Приведем примеры: множество билетов на различные концерты; множество возможных экономических состо­яний фирмы в определенный момент времени в будущем, измеряемых разностью ее денежных доходов в будущем и в настоящий момент; множество экономических состояний государства и т.д.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий понятие дохода в задачах системных исследований. Пусть решается задача выбора варианта реализации структуры сложной системы. Группа проектировщиков дол­жна принять решение о выборе одного варианта реализации системы управления из нескольких рассматриваемых. В качестве множества доходов, получаемых от реализации того или иного варианта, могут служить денежные доходы, получаемые в результате внедрения сис­темы выработки и принятия управляющих воздействий с использова­нием конкретного варианта структуры системы по сравнению с тради­ционным способом управления. Под доходом может также понимать­ся длительность обработки запросов пользователей; длительность об­работки результатов функционирования отдельных подразделений, на­пример цехов; точность и достоверность выводов, полученных в резуль­тате реализации управляющих воздействий и т.д. Совокупность всех этих составляющих образует вектор дохода конкретного варианта реа­лизации структуры системы.

Для любого множества R у системного аналитика будут предпоч­тения к тем или иным доходам. В некоторых ситуациях эти предпочте­ния очевидны. Например, в случае денежных доходов, чем больше доход, тем он предпочтительнее.

Сложнее сформулировать предпочтение в случае, когда доход -векторная величина. При сравнении двух векторных доходов, если каж­дая компонента первого вектора представляется более желательной, нежели соответствующая компонента второго вектора, то предпочтение отдается первому вектору. Если первый выгоднее только в отно­шении некоторых своих компонент, в то время как второй вектор пред­почтительнее по другим компонентам, то какому из этих векторов от­дать предпочтение, не очевидно. Для окончательного решения вопроса следовало бы приписать соответствующие веса отдельным компонентам.

При сравнении двух доходов и пишут , если предпочтительнее , и , если эквивалентен , т.е. имеет место одинаковая выгодность. Если не является более предпочтительным, чем , то пишут г_] .

Предполагается, что на основе своих предпочтений среди доходов системный аналитик может задать полное упорядочение множества R. Другими словами налагаются следующие условия.

1. Если и - произвольные доходы из множества R, то верно одно и только одно из следующих соотношений

2. Если и - доходы изR, причем и , то

Наконец, будем предполагать, что не все доходы в R эквивалентны между собой, т.е. исключается тривиальная ситуация, а именно, пред­полагается, что хотя бы для одной пары .

В большинстве задач аналитик не вполне свободен в выборе дохо­да. Обычно он может лишь выбрать из некоторого класса возможных распределений вероятностное распределение на R, согласно которому будет определен его доход.

Например, ставится вопрос о выборе определенного технологичес­кого процесса из двух или более возможных таких процессов. Хотя до­ходы и можно точно выразить через производительность и издержки, производственные характеристики различных процессов могут быть описаны лишь вероятностью.

Другой пример. Системный аналитик хочет получить информацию о значении некоторого параметра. Его доход — это количество инфор­мации об этом значении, получаемое после эксперимента. Пусть он выбирает эксперимент из некоторого класса доступных ему, но инфор­мация, которую он получит в каждом из экспериментов, носит случай­ный характер. В любой задаче такого рода аналитик производит выбор не непосредственно среди доходов из множества R, а среди вероятно­стных распределений на R.

Вероятностное распределение на множестве доходов задают в том случае, когда величина, определяющая доход, имеет характер непре­рывной случайной величины. Так, в задаче выбора определенного тех­нологического процесса из нескольких возможных вариантов для каждого процесса могут быть известны средние характеристики. Однако в реальной эксплуатации характеристики технологического процесса могут изменяться в широких пределах. На них оказывает влияние ряд факторов, таких как наличие ресурсов для стабильной работы предприятия, психологический климат в коллективе, состояние здоровья работников, занятых в данном производстве и т.п. Таким образом, доход, получаемый от реализации конкретного варианта технологического процесса, будет величиной случайной, зависящей от большого количества факторов.

То же можно сказать и в случае решения задачи выбора варианта структуры системы управления. Допустим, что проектные документы гарантируют некоторые характеристики качества функционирования системы, такие как быстродействие системы, объем информации, пе­редаваемой по каналам связи, объемы памяти и т.д. Но необходимо отдавать отчет в том, что эти характеристики являются средними. Они могут существенно меняться в зависимости от характеристик конкрет­ных технических средств, например, характеристик надежности. Так, частые отказы одной системы приводят к снижению характеристик ка­чества, в то время как надежная работа другой системы позволяет поддерживать ее характеристики качества на достаточно высоком уров­не. В данном случае вектор дохода, получаемого от эксплуатации сис­темы, будет величиной случайной, зависящей от вероятности безотказ­ной работы технических средств (впрочем, как и от ряда других фак­торов).

Таким образом, величина дохода, получаемого от реализации того или иного варианта решения, является случайной величиной, зависящей от различных факторов. В случае благоприятного стечения факторов можно получить максимальный доход от выбора определенной альтер­нативы. В случае неблагоприятного стечения факторов получают ми­нимальный доход. Естественно, что будет некоторое количество про­межуточных доходов, зависящих от вероятности реализации того или иного набора факторов.

Поскольку доходы могут иметь различное выражение (денежное вы­ражение дохода, быстродействие системы, объем памяти и т.п.) необ­ходимо обеспечить возможность их сравнения. Как было указано ра­нее нужно иметь систему предпочтений, систему весовых коэффици­ентов, с помощью которых можно было бы производить сравнение ва­риантов реализации различных альтернатив, когда они описываются векторными системами доходов. В качестве такой системы предпочтений выступает функция полезности. Для всякого распределения и всякой вещественной функции q на множестве R обозначим через математическое ожидание функции q (если оно существует) относительно распределения Р.

Рассмотрим теперь пространство X всех возможных решений x, а R пространство всех возможных доходов r, которые может получись исследователь в результате решения х и исхода y. Доход из R , получаемый исследователем при решении х и исходе у обозначим через σ(x, у), Будем считать заданным вероятностное распределение Р на пространстве исходов У, причем значение Р(у) определено для каждого исхода у, Предположим также, что на множестве R задана функция полезности.

Для всякого вероятностного распределения Р_x , для которого функ­ция g интегрируема, среднюю полезность Е(g /Р_x ) можно вычислить по формуле

Тогда задача исследователя будет состоять в выборе решения x, максимизирующего Е(g /Р_x ) .

В задачах принятия решения каждому доходу rЄR принято сопос­тавлять не полезность, а потери. Функция потерь определяется равен­ством

При любом (х,у) число L(х,у) представляет собой ущерб исследо­вателя от принятия решения х, в случае, когда реализовался исход у. Пусть Р - вероятностное распределение исхода у. При всяком реше­нии х средний ущерб ρ(Р,х) называется риском и определяется по фор­муле

В этом случае системный аналитик должен стремиться к выбору решения х, минимизирующего риск ρ(Р,х). Таким образом, сформировано правило выбора решения в случае, когда на пространстве исходов задано распределение вероятностей.

Рассмотрим задачи решения, в которых исследователь перед тем как выбрать решение из множества Х, наблюдает значение случайной величины или случайного вектора z, связанного с исходом y. Наблюде­ние z дает исследователю некоторую информацию о значении у, которая помогает ему принять рациональное решение. Будем полагать, что для всех y Є Y задано условное распределение z .

Поскольку решение исследователя зависит от наблюдаемого зна­чения z, он должен выбрать решающую функцию δ, задающую для любого возможного значения z Є Z решение δ(z) Є X. В этом случае функция риска будет определяться равенством

Термин «риск» здесь как и ранее относится к среднему ущербу. Для каждого решения x Є Xρ(y,δ) обозначает риск от принятия решения х. Распределение h(у) называется априорным, так как оно задает распре­деление у до проведения наблюдения над z.

В задачах принятия решений наблюдение случайной величины z связано с определенными затратами, которые должны учитываться аналитиками, проводящими системные исследования, при расчете риска от принятия решающей функции, использующей результаты наблюде­ния z. Это обстоятельство играет особенно важную роль в случае, ког­да аналитику надо решить, какую из нескольких случайных величин предпочтительнее наблюдать, или ответить на вопрос, производить ли наблюдения вообще. Пусть с(у, z) обозначает цену наблюдения значе­ния z из множества Z. Тогда, если h(у) есть априорная плотность рас­пределения случайной величины у, то средняя цена наблюдения равна

Будем предполагать, что для цены с(у, z) верно предположение о средней полезности. Иными словами, будем считать, что эта цена выражена в соответствующих единицах отрицательной полезности так, что существенным является лишь среднее значение вероятностного распределения цены.

Общим риском от наблюдения z и принятия решающей функции δ называется сумма риска ρ(y,δ) и средней цены наблюдения E{c(y,z)}. Системный аналитик должен выбрать наблюдение z из некоторого класса доступных наблюдению случайных величин и соответствующую решающую функцию δ(z)ЄX, минимизирующую общий риск. Условное распределение у при известном значении z называется апостериорным рас­пределением у, так как оно задает распределение у при зафиксирован­ном значении z.

Сформировав общий риск от наблюдения можно решать задачу о необходимости проведения наблюдений. Если общий риск от наблюдения оказывается меньше, чем риск ρ(Р,х), получаемый без проведения дополнительных наблюдений, то наблюдения есть смысл проводить, если же общий риск оказывается больше риска ρ(Р,х), то организовы­вать дополнительные наблюдения смысла не имеет. Таким образом, организовывать наблюдения имеет смысл лишь в том случае, когда цена наблюдения меньше выигрыша, получаемого за счет поступления но­вой информации.

В рассмотренных задачах делалось предположение о том, что на пространстве решений Х и пространстве исходов У заданы соответству­ющие распределения. Если вид закона распределения определяющего параметра считается известным, то применение описанных процедур осуществляется согласно приведенным формулам. Если же информа­ции о виде закона распределения у исследователя нет, приходится от­казываться от применения параметрического подхода. Здесь важно отметить, что приходится отказываться от необходимости знать вид распределения, а не от того, что выборка подчинена какому-то, пусть неизвестному, но существующему, закону распределения. Предположе­ние о статистичности наблюдений остается в силе. В этом случае для описания распределения на множествах решений и исходов следует применять непараметрические методы.

Незнание функционального вида распределения не означает, что ис­следователь ничего не может сказать о свойствах распределения. Ре­зультаты специально организованных наблюдений, информация, получен­ная из эксплуатации объекта системного анализа, на этапе его реаль­ного функционирования, служит основой для построения непараметри­ческих процедур, решающих задачу выбора.

Остановимся на сложностях, которые необходимо осознавать при решении реальных задач выбора, т.е. когда теоретические методы при­меняются на практике. Неудачное или неправильное применение статистических методов к решению реальных проблем может привести к отрицательному результату. Причины неправильного применения статистических методов известны. Рассмотрим их

1. Статистический вывод по своей природе случаен, поэтому он никогда не может быть абсолютно достоверным. Поэтому при реше­нии задач выбора любая процедура должна сопровождаться оценкой характеристик ее качества. При оценке параметра необходимо вычислять точность, характеризуемую, например, дисперсией. При проверке гипотез необходимо оценивать мощность критерия, с помощью которо­го осуществляется проверка, вычислять ошибки первого и второго рода. При повышении требований к качеству принимаемых решений необходимо организовать дополнительные исследования объекта сис­темного анализа и тем самым увеличивать объем информации, на ос­новании которой осуществляется принятие решения. Статистический вывод может быть ошибочным, но всегда имеется возможность варь­ировать характеристики ошибок.

2. Качество решения, принимаемого с помощью процедур статис­тического вывода, существенно зависит от информации, поступающей на вход. Какие данные в модель заложить, такое решение и получим. В реальной эксплуатации сложных систем встречаются ситуации, когда обслуживающий персонал умышленно скрывает информацию, не запи­сывая все события, происходящие с объектами в оперативные журна­лы. Например, персонал не заинтересован в ведении журналов учета отказов объектов, так как эффективность функционирования объектов напрямую связана с материальными вознаграждениями персонала. Если они будут записывать все отказы, то это повлечет за собой лишение премий. Естественно, что принятие решений, связанные с планирова­нием деятельности предприятия на основании такой неполной информа­ции будет заведомо содержать ошибку.

3. Отрицательный результат применения теории статистических выводов может быть получен в тех случаях, когда природа явлений, относительно которых принимается решение, не имеет статистическо­го характера. Иными словами встречаются ситуации, когда статисти­ческой обработке подвергаются данные, не имеющие статистической природы. Иногда этот факт трудно проверить, особенно при малых объе­мах выборки. Выяснению факта наличия статистической природы рас­сматриваемых явлений или процессов следует уделять специальное внимание при организации наблюдений или экспериментов.

4. Снижение качества ожидаемых статистических решений может быть связано с использованием моделей, которые не адекватны опи­сываемым явлениям или процессам. Например, неправомерно применять классические параметрические регрессионные модели в случие, когда ошибка не подчиняется гауссовскому распределению, неправомерно применять модели дисперсионного анализа к негауссовским данным. Часто встречаются ситуации, когда модели, построенные дли одних объектов, работающих в условиях воздействия одного комплек­са факторов, переносятся на объекты-аналоги, функционирование которых осуществляется при воздействии совершенно другого комплекса факторов. Смена условий функционирования объектов может привести к неадекватности построенной модели.

5. Неудовлетворительный результат применения процедур статис­тического вывода может иметь место также тогда, когда правильное применение процедуры вывода неверно интерпретируется. Интерпре­тация статистических результатов лежит вне статистики, за неправиль­ную интерпретацию нельзя осуждать статистику.

В заключение данного параграфа укажем, что в статистических задачах выбора неопределенность бывает двух типов. Первый тип нео­пределенности связан со стохастической природой явлений и процес­сов, на основании которых решается задача выбора. Имеется и другая неопределенность, связанная с выбором моделей для описания случай­ного характера данных, на основании которых осуществляется проце­дура принятия решений. Например, исследователю заранее неизвестно какое именно распределение из некоторого множества порождало экс­периментальные данные. Для решения такого типа задач применяются методы проверки статистических гипотез, которые снижают уровень неопределенности, но полностью ее не устраняют.