6.3. Выбор в условиях неопределенности

Рассмотренные до настоящего времени задачи осуществления выбора формулировались таким образом, что последствия сделанного выбора предполагались однозначно определенными. Выбор одной из альтернатив был связан с известным однозначным следствием. В этом случае проблема выбора состояла в сравнении разных вариантов, т.е. альтернатив.

В реальной практике в большинстве случаев приходится иметь дело с более сложной ситуацией, когда выбор альтернативы неоднозначно определяет последствия сделанного выбора. Адекватное реальности описание проблемы практически всегда содержит различного рода нео­пределенности, отражающие то естественное положение, в котором находится исследователь: любое его знание относительно и неточно. Принято различать три типа неопределенностей. С одной стороны это неопределенности природы. К данному виду неопределенностей отно­сят факторы, неизвестные исследователю. Далее неопределенности про­тивника. Нередки ситуации, когда исследователь принимает решения в условиях, при которых результаты его решений не строго однозначны. Они зависят от действий других лиц (партнеров, противников и т.п.), которые он не может учесть или предсказать. И, наконец, существуют так называемые неопределенности целей. Такая ситуация возникает в случае, когда при принятии решений формулируется несколько целей, которые в общем случае могут противоречить друг другу. В этом слу­чае мы приходим к многокритериальной задаче выбора. Подходы к принятию решения в условиях многокритериальной задачи рассмотре­ны в предыдущем параграфе.

Существует также классификация неопределенностей по соотноше­нию альтернатив и исходов. Различают неопределенности дискретного и непрерывного типа, стохастические и расплывчатые неопределенно­сти.

Рассмотрим следующую ситуацию: имеется набор возможных ис­ходов , из которых один окажется совмещенным с выбранной аль­тернативой, но какой именно - в момент выбора неизвестно, а станет ясным позже, когда выбор уже сделан и изменить ничего нельзя. Бу­дем предполагать, что с каждой альтернативой x связано одно и то же множество исходов Y, для разных альтернатив одинаковые исходы име­ют разное значение. В случае дискретного набора альтернатив и исхо­дов такую ситуацию можно изобразить с помощью матрицы, представ­ленной в таблице:

В этой матрице все возможные исходы образуют вектор , числа выражают оценку ситуации, когда сделан выбор альтернативы реализовался исходу . В конкретных случаях числа мо­гут иметь различный смысл: это может быть «выигрыш», «потери», «платежи» и т.п. Если все строки при любых I одинако­вы, то проблемы выбора нет. Если же строки матрицы различны, воз­никает вопрос, какую альтернативу предпочесть, не зная заранее, ка­кой из исходов реализуется.

Аналогичная ситуация возникает в случае, когда множества X и Y непрерывны. В этом случае зависимость между альтернативами и ис­ходами задается в виде функции q(x,y), с соответствующей постановкой вопроса о выборе х.

Введенных до настоящего времени параметров недостаточно для формальной постановки задачи выбора. При различной конкретизации этой задачи она приобретает различный смысл и требует различных методов решения. Методологической базой для решения такого рода задач является теория игр. Метод решения конкретной задачи будет зависеть от характера воздействующих на ситуацию факторов, не за­висящих от лица, принимающего решения. Здесь необходимо различать уже отмеченные ранее неопределенности природы и неопределеннос­ти противника. В задачах выбора с природной неопределенностью счи­тается, что исходы есть возможные состояния природы. Желательность каждой альтернативы х. зависит от того, каково состо­яние природы, но узнать это состояние исследователь сможет лишь после того, как сделан выбор.

В задачах выбора с неопределенностью противника предполагает­ся, что исходы Y- это множество альтернатив, на котором выбор осу­ществляет второй игрок. В отличие от природной неопределенности игрок преследует свои интересы, отличные от интересов исследователя (пер­вого игрока). При этом матрица , характеризующая оценки си­туаций с точки зрения системного исследователя или лица, принимаю­щего решения, выбирающего х, уже недостаточна для описания всей ситуации. Необходимо задать вторую матрицу , описывающую систему предпочтений с позиции противника. Задание X,Y.Q и U назы­вается нормальной формой игры. Расхождение между матрицами Q и U определяет степень антагонизма лица, принимающего решения, и его противника. Остановимся на анализе природных неопределенностей и неопределенностей противника.

Рассмотрение природных неопределенностей начнем с примера. Пусть перед системным аналитиком стоит задача проложить маршрут океанского лайнера и распорядиться запасом горючего так, чтобы суд­но как можно быстрее дошло до пункта назначения. При этом извест­но, что время нахождения в пути будет существенно зависеть от погод­ных условий на трассе в момент ее прохождения. В данном случае по­годные условия представляют собой природную неопределенность. Ситуация типична для ряда задач принятия решений. Рассмотрим ее формализацию. Запишем целевую функцию, например время нахожде­ния судна в пути, в следующем виде

где - некоторый параметр, который заранее неизвестен. Выбор альтернативы x, которая бы минимизировала значение целевой функции будет существенно зависеть от того, какое значение параметра а реа­лизуется в момент прохождения судна по трассе. Таким образом, гово­ря о природной неопределенности, имеем в виду, что выбор осуществ­ляется в условиях, когда целевая функция задана, но не совсем точно, а именно, она содержит неопределенный параметр. Постановка задачи выбора будет выглядеть следующим образом

Если никакой дополнительной информацией о факторе нео­пределенности лицо, принимающее решение, не располагает, то ре­зультат оптимизации произволен.

Рассмотрим другой подход, который дает строгую оценку. Данный подход основан на применении принципа наилучшего гарантированного результата. Суть его состоит в следующем. Так как для любой альтер­нативы х справедливо неравенство

то и для любого будет справедливо соотношение

Число , определенное данным способом, называется гарантирован­ной оценкой, а соответствующая альтернатива х = х* - гарантирован­ной стратегией в том смысле, что каково бы ни было значение пара­метра неопределенности а, выбор х = х* гарантирует, что при любом значение целевой функции будет не меньше, чем .

Выбор гарантирующей стратегии поведения - это рациональный способ принятия решений. В результате использования данной страте­гии лицо, принимающее решение, гарантирует исход, защищенный от всевозможных случайностей. Каковы бы ни были неконтролируемые факторы, в результате такого выбора обеспечивается значение целе­вой функции не меньше, чем . Данный результат может быть улуч­шен, если принять решение, связанное с определенным риском. Крите­рии принятия решений в условиях риска рассмотрим несколько позже.

Перейдем теперь к описанию неопределенностей, связанных с су­ществованием активных партнеров или противников, действия которых лицо, принимающее решение, не может полностью контролировать.

В теории принятия решений особое место занимает изучение ситу­ации, в которой участвует много субъектов (много оперирующих сто­рон), причем каждый из них стремится достичь своей цели

и имеет для этого определенные возможности, которые описываются вектором . Заметим, что формально такая ситуация включает в себя проблему многокритериальности, требующую определения вектора, при котором достигается максимум критериев f_i(X). В самом деле, если отождествить цель каждого из субъектов с его критерием, а в качестве описания множества X принять условия

то в результате будет получен частный случай задачи со многими ак­тивными партнерами. Общий случай ситуации со многими субъектами гораздо сложнее и требует для своего анализа целый ряд специфичес­ких гипотез. Поясним это на примере двух субъектов. Итак, пусть два субъекта А и Б, располагающие возможностью выбора векторов х и у, стремятся к достижению своих целей, которые будем записывать в виде

В частном случае может оказаться, что f(x,y) = -(x,y) такую ситуацию называют антагонистической. Антагонистические ситуации были предметом множества исследований и сделались основным объек­том изучения в теории игр. Чисто антагонистическая ситуация являет­ся в известном смысле вырожденной. Наиболее типичен конфликт, в котором интересы партнеров или противников не совпадают, но и не строго противоположны.

Общий случай нетождественности интересов (целей) партнеров (субъектов) называют конфликтом. При изучении конфликтных ситуа­ций, т.е. при изучении возможных способов выбора, удобно отождеств­лять исследователя с одним из субъектов. Условимся называть лицо, принимающее решение субъектом А.

В связи с тем, что исход выбора зависит от выбора субъекта Б, необходимо принять ту или иную гипотезу о его поведении, которое, в свою очередь, будет зависеть от характера информированности субъек­та Б. Здесь возможно существование нескольких гипотез (нескольких случаев).

1) Каждый из субъектов не имеет никакой информации о выборе, который сделал другой субъект. В этом случае имеется возможность найти гарантированную оценку. Для субъекта А она будет выражаться формулой

для субъекта Б- формулой

Решая сформулированные задачи, определяют векторы х* и у*_, ко­торые реализуют значения и . Такое решение означает, что сделав выбор х = х*, лицо, принимающее решение, при любых условиях гарантирует, что значение целевой функции будет не меньше, чем .

В этой ситуации могут быть предложены различные варианты рис­ка. Например, имеется возможность принять гипотезу о том, что дру­гой субъект использует гарантирующую стратегию у = у*. Тогда необ­ходимо делать другой выбор:

В этом случае определяется вектор х = х¹ и соответствующее зна­чение функции . При этом , но если противник сделает иной выбор, например, то может оказаться, что . В дан­ной ситуации следует иметь в виду, что риск есть риск, и если исследо­ватель сформулировал гипотезу и она оказалась неверной, то и резуль­тат может оказаться не тем, который ожидается.

2) Вторая ситуация характеризуется тем, что исследователь во время принятия решения имеет информацию о выборе субъекта Б, т.е. ему известно выбранное субъектом Б значение у.

Тогда стратегию (выбор) х следует искать в виде функции х = х(у). Данная стратегия может быть определена эффективно, для этого тре­буется решить задачу оптимизации

Решая данную оптимизационную задачу, определяем искомую страте­гию х = х(у). Для этого случая можно также вычислить гарантирован­ный результат

и во всех случаях .

Заметим, что выбирая свою стратегию - вектор х - лицо, принима­ющее решение, никак не можем повлиять на выбор, который сделал другой субъект.

3) Предположим теперь, что субъект Б в момент принятия своего решения будет знать выбор лица, принимающего решение (субъекта А); например, субъект А обязан сообщить свое решение субъекту Б. В этом случае исключается возможность оказать влияние на выбор, который сделает субъект Б. В самом деле, если исследователь знает целевую функцию субъекта Б, то естественно сделать предположение о том, что субъект Б будет делать выбор из условия

Решая данную задачу исследователь может определить отклик субъекта Б на свой выбор, который, согласно сформулированной гипо­тезе, будет оптимальной стратегией субъекта Б:

у=у(х).

Теперь имеется возможность распорядиться выбором вектора х. Подставляя последнее выражение в формулу для целевой функции , можно получить

Свой выбор исследователь может сделать из условия

Итак, информация о том, что субъект Б будет знать выбор лица, при­нимающего решения, а также гипотеза о том, что субъект Б выберет свою оптимальную стратегию, позволяют так воздействовать на его выбор, чтобы он в максимальной степени соответствовал целям иссле­дователя.

Описанная ситуация достаточно часто встречается на практике и ей нетрудно придать ту или иную экономическую интерпретацию. Так, вектор х можно отождествить с ресурсом, а функцию у = у(х) назвать производственной функцией, которая описывает наивыгоднейший для субъекта Б способ использования ресурса. Таким образом, субъекту Б выделяется такое количество ресурса, чтобы его деятельность наилуч­шим образом соответствовала целям субъекта А.

Теория принятия решений в настоящее время представляет собой самостоятельную научную дисциплину. По данному направлению опуб­ликовано множество монографий [3], поэтому не имеет смысла подробно останавливаться на результатах данной теории. Изложим основопола­гающие идеи и подходы к решению задач теории принятия решений.

Центральным моментом данной теории является введение крите­рия для оценки выбираемого варианта. В силу неопределенности исхо­да требуется дать оценку сразу целой строке матрицы. Имея такие оценки для всех строк, и сравнивая их, можно приступать к решению задачи выбора. Для этого требуется ввести критерии сравне­ния альтернатив.

Самым распространенным является уже рассмотренный ранее максиминный критерий, который гарантирует результат выбора по принци­пу «наименьшего из зол». Рассмотрим суть данного критерия приме­нительно к таблице 7.1 (матрица платежей). В каждой из строк матрицы определяем наименьший из выигрышей, который характеризует гарантированный выигрыш в самом худшем случае. Далее определяем альтернативу х*, обеспечивающую наибольшее значение этой оценки:

Эта альтернатива называется оптимальной по максиминному кри­терию. Если платежную матрицу определить не через выигрыш, а че­рез проигрыш, то тот же принцип рассмотрения приводит к минимакс­ному критерию. Минимаксный критерий использует оценочную функ­цию, соответствующую позиции крайней осторожности. Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием можно интерпре­тировать следующим образом: матрица платежей, на основании кото­рой осуществляется поиск оптимального решения, дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов каждой строки. Выб­рать надлежит те варианты , в строках которых стоят наибольшие значения этого столбца.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что лицо, принимающее решение, не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия ни сложились при развитии ситуации, соответствующий результат не может оказаться ниже . Это свойство заставляет счи­тать минимаксный критерий одним из фундаментальных. В задачах системных исследований применительно к техническим системам дан­ный критерий находит наиболее широкое применение. Однако следует заметить, что положение об отсутствии риска стоит различных потерь. Осознавая данную ситуацию, в теории принятия решений предложено большое количество критериев, учитывающих всевозможные особен­ности конкретных задач и предпочтений субъектов, принимающих ре­шения. Это такие критерии как Байеса-Лапласа, Сэвиджа, Гурвица, Ходжа-Лемана, Гермейера и т.д.

Применение минимаксного критерия бывает оправдано в ситуаци­ях, которые характеризуются следующими обстоятельствами:

• о возможности появления внешних состояний ничего не известно;

• приходится считаться с возможностью появления нескольких раз­личных по своему характеру негативных внешних состояний;

• решение реализуется лишь один раз;

• при принятии решения необходимо исключить любой риск.