8 Спектральная плотность мощности случайной манипулирующей последовательности.

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

Если процесс x(t) имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

((1))

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

((2))

Функция   характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу x(t), реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

((3))

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной S_x(f) определяет k_x(τ):

((4))

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f = 0 и τ = 0, имеем

((5))

((6))

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S_x(f)df можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f − df / 2 до f + df / 2. Если понимать под x(t) случайный (флуктуационный ток) или напряжение, то величина S_x(f) будет иметь размерность энергии [В²/Гц] = [В²с]. Поэтому S_x(f) иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию:   – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S_x(f) называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности

• Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:

.

((7))

• Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:

.

((8))

• Корреляционная функция k_x(τ) и энергетический спектр S_x(f) стационарного в широком смысле случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр S_x(f) тем «уже» корреляционная функция k_x(τ), и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.