Образец решения типового варианта Расчетно-графическая работа по теории вероятностей Случайные события

Задание 1. Во время испытаний производится наблюдение за состоянием работы 5 одинаковых двигателей внутреннего сгорания. Каждый из них во время работы может выйти из строя. Рассматриваются события – вышел из строя i-ый двигатель (i = 1, 2, 3, 4, 5). Выразить через следующее событие: А – вышел из строя один и только один двигатель.

Решение.

Пусть (i = 1, 2, 3, 4, 5) – вышел из строя i-ый двигатель;

А – вышел из строя один и только один двигатель.

Событие А означает, что из строя выйдет любой из пяти двигателей: или первый, или второй, или третий, или четвертый, или пятый, при условии, что другие четыре будут работать в это время безотказно. Тогда событие А можно представить в виде

Ответ:

Задание 2. Какова вероятность того, что четырехзначный номер случайно взятого автомобиля в большом городе имеет четыре одинаковые цифры?

Решение.

Пусть А – четырехзначный номер автомобиля имеет четыре одинаковые цифры.

;

п = 10000 (0000, 0001, …, 9999),

т = 10, так как всего 10 цифр (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), из которых можно составить 10 автомобильных номеров с одинаковыми цифрами (0000, 1111, …, 9999).

.

Ответ: .

Задание 3. Прибор, работающий в течение суток, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком, вероятность безотказной работы в течение суток первого узла 0,9; второго – 0,95; третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно.

Решение.

Пусть А₁ – первый узел работает безотказно  ;

А₂ – второй узел работает безотказно  ;

А₃ – третий узел работает безотказно  (по условию).

Прибор работает безотказно, если безотказно работают и первый, и второй, и третий узлы, тогда

,

так как события А₁, А₂, А₃ – независимые по условию.

Ответ: .

Задание 4. В первой урне 3 белых и 5 черных шаров, во второй – 4 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую переложили два шара. После этого из второй урны достали один шар. Определить вероятность того, что этот шар черный.

Решение.

3 белых и 4 белых и

5 черных 4 черных ?

I II Рис. 8

Введем гипотезы:

Н₁ – из первой урны переложили во вторую 2 белых шара;

Н₂ – из первой урны переложили во вторую 1 белый и 1 черный шар;

Н₃ – из первой урны переложили во вторую 2 черных шара.

Событие А – из второй урны достали черный шар.

Событие А может быть представлено в виде

.

По формуле полной вероятности имеем:

.

Сделаем проверку. Сумма вероятностей гипотез должна быть равна 1:

.

Найдем условные вероятности:

Тогда

.

Ответ: .

Задание 5. По данным технологического контроля, в среднем 10% изготавливаемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из 400 изготовленных часов не более 350 штук не будут нуждаться в дополнительной регулировке?

Решение.

Исходя из условий задачи, имеем схему повторных независимых испытаний, где:

п = 400,

k  350,

р = 0,9 (исправные часы),

q = 0,1 (нуждаются в регулировке ).

Так как п – велико, то применим интегральную формулу Лапласа:

.

Ответ: