4. Полная вероятность и формула Байеса

4.1 Завод выпускает за три месяца соответственно 20, 30, 50% задания, причем вероятности брака соответственно составляют 1%, 1,2%, 1,5%.

Найти вероятность того, что изделие выпущено в первом месяце, если в нем обнаружен дефект.

4.2 В трех урнах содержатся шары, причем в первой 10 белых и 5 черных, во второй – 12 белых и 8 черных, в третьей – только белые. Наугад выбирается урна, затем из нее выбирается шар.

Найти вероятность того, что вынутый шар – белый.

4.3 В ящике находится 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся 3 мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берут три мяча.

Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.

4.4 Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1, и две коробки, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартная 0,8, а завода №2 – 0,9. Сборщик наугад извлек деталь из наудачу выбранной коробки.

Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

4.5 В двух ящиках имеются радиолампы. В первом 12 ламп, из них одна нестандартная; во втором – 10 ламп, из которых две нестандартные. Из первого ящика во второй переложена одна лампа.

Найти вероятность того, что наугад извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

4.6 Ремонтная мастерская получает запчасти с трех заводов, причем второй завод поставляет запчастей в 3 раза меньше, чем третий, а первый в 2 раза больше, чем второй. Брак первого завода составляет 3% , третьего – 5%, а со второго завода все запчасти качественные.

Найти вероятность того, что взятая наудачу запчасть окажется качественной.

4.7 В трех урнах имеются лотерейные билеты, причем в первой число выигрышных билетов относится к числу невыигрышных как 2:3; во второй – 70% выигрышных билетов; в третьей из 20 билетов выигрывают 12. Человек подходит к одной урне и тянет билет.

Какова вероятность того, что он не выиграет?

4.8 В урну, содержащую 5 шаров, опущен белый шар.

Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном составе шаров по цвету равновозможны.

4.9 В одной урне 2 белых и 2 черных шара, а в другой 2 белых и 3 черных. Из наугад выбранной урны извлечен шар, оказавшийся черным.

Найти вероятность того, что он извлечен из первой урны.

4.10 На рисунке 2 изображена схема дорог. Туристы вышли из пункта А и выбирают наугад на разветвлении дорог один из возможных путей.

К акова вероятность того, что они попадут в пункт В?

А₁ А₂ А₄

А₃

А В

А₅ А₆

А₇

Рис.2

4.11 При передаче некоторой информации с помощью азбуки Морзе число точек и тире относится как 6:4, причем точка искажается с вероятностью 0,2 (принимается тире), а тире – с вероятностью 0,1 (принимается точка). Допустим, принята точка.

Найти вероятность того, что было передано тире.

4.12 В пачке в произвольном порядке лежат 10 тетрадей в клетку и 3 тетради в линию. Наудачу взяли одну тетрадь. После этого взяли две тетради, и они оказались в линию.

Какова вероятность того, что первая взятая наудачу тетрадь была в линию?

4.13 В первом ящике 12 красных и 6 синих шаров, во втором – 15 красных. Бросается игральная кость. Если число выпавших очков кратно 3, то наудачу вынимают шар из первого ящика, если число очков не кратно 3, то из второго.

Какова вероятность того, что вынутый шар – красный?

4.14 По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в первой группе получили положительную оценку 20 студентов из 30, а во второй – 15 из 25.

Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа, имеющая положительную оценку, написана студентом первой группы.

4.15 Магазин получает изделия с трех фабрик, причем первая поставляет изделий в 2 раза больше, чем вторая, а третья – столько же, сколько первая. Брак продукции первой фабрики составляет 10%, второй – 5%, а с третьей все изделия качественные.

Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется доброкачественным.

4.16 60% учащихся в группе – девушки. 80% девушек покупают проездные билеты на трамвай, а среди юношей – 70%.

Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент имеет проездной билет на трамвай?

4.17 В коробке из 8 карандашей 5 красных. В коробку положили пару карандашей и после этого достали наугад один.

Какова вероятность того, что вынутый карандаш красный, если все предположения о цвете карандашей, положенных в коробку, равновозможны?

4.18 Из 14 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,6 и 2 с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал.

Какой из групп вероятнее всего принадлежал стрелок?

4.19 В урне 7 белых и 5 черных шаров. Вытащили 2 шара. После этого вытащили еще один шар.

Какова вероятность того, что он белый?

4.20 В оружейной пирамиде 50 единиц стрелкового оружия: автоматы и карабины, причем автоматы составляют 60% всего оружия. Вероятность того, что стрелок поразит мишень из автомата, в 19 раз больше, чем вероятность того, что он промахнется. Для карабина вероятность промаха равна 0,4.

Найти вероятность того, что мишень будет поражена из наудачу взятого оружия.

4.21 На фабрике три машины производят соответственно 25, 35, 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 0,5; 4 и 2%. Случайно выбранное изделие оказалось бракованным.

Какова вероятность того, что оно произведено первой машиной?

4.22 На конвейер попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2% и третий – 0,4%. С конвейера наугад берут деталь.

Найти вероятность, что эта деталь бракованная, если автоматы производят соответственно 1000, 2000 и 2500 деталей.

4.23 Из трамвайного парка в случайном порядке последовательно выходят 3 трамвая маршрута №1 и 4 трамвая маршрута №2.

Найти вероятность того, что вторым по порядку пойдет трамвай маршрута №1.

4.24 В первом ящике 10 красных и 5 зеленых яблок, во втором – 7 красных, 3 зеленых. Бросается игральная кость. Если выпадет 6 очков, то наудачу вынимают яблоко из первого ящика. В противном случае – из второго. Какова вероятность того, что вынутое яблоко зеленое?

4.25 В группе из 23 студентов трое – отличники. На экзаменах отличники в 9 раз чаще получают «5», чем «4». Остальные студенты с равной вероятность могут получить «4», или «3», или «2». Студент сдал экзамен на «4».

Какова вероятность того, что этот студент – отличник?

4.26 В обувную мастерскую для ремонта приносят мужскую и женскую обувь в соотношении 1:4. Вероятность качественного ремонта для мужской обуви 0,95; для женской – 0,8. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара отремонтирована некачественно.

Какова вероятность того, что это пара женской обуви?

4.27 Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта составляет 40%, второго сорта – 50%, остальное – третий сорт. Вероятность того, что взойдет зерно первого сорта, равна 0,8, второго – 0,5, третьего – 0,3.

Найти вероятность того, что взятое наудачу зерно взойдет.

4.28 Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь.

Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 10% деталей бракованных, а в других все доброкачественные?

4.29 В стройотряде 70% первокурсников и 30% студентов второго курса. Среди первокурсников 10% девушек, а среди студентов второго курса 5% девушек. Все девушки по очереди дежурят на кухне. В случайно выбранный день на кухне дежурит девушка.

Какова вероятность, что она первокурсница?

4.30 В первой урне 3 белых и 5 черных шаров, во второй – 4 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую переложили 1 шар, а потом из второй урны извлекли 2 шара.

Определить вероятность того, что эти шары одного цвета.

4.31 В первой урне 3 белых и 5 черных шаров, во второй – 4 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую переложили 1 шар, а потом из первой урны извлекли 2 шара.

Определить вероятность того, что эти шары разного цвета.