Часть II «Случайные величины»

6. Дискретные случайные величины (дсв)

6.1 На зачете студенту предложено 5 задач в тестовой форме. На каждое задание имеется 4 ответа, один из которых правильный. Студент решил выбирать ответ наудачу.

Составить закон распределения числа верно выбранных ответов. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

6.2 Среди поступивших в ремонт 10 часов 6 штук нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в общей чистке механизма, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр.

Составить закон распределения случайной величины – количества просмотренных часов, и найти математическое ожидание этой случайной величины.

6.3 В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее 5 раз подряд извлекают шар, причем каждый раз извлеченный шар возвращают в урну и шары перемешивают.

Приняв за случайную величину Х – число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины.

6.4 Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку.

Составить закон распределения и вычислить математическое ожидание числа опробований при открывании замка, если испробованный ключ в дальнейших опробованиях не участвует.

6.5 В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости которых 100 и 50 долларов.

Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего два билета.

6.6 Три стрелка делают по выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком 0,5, вторым – 0,4, третьим – 0,8.

Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти среднее значение числа попаданий.

6.7 При установившемся технологическом процессе 2/3 всей производимой продукции станок-автомат выпускает первым сортом и 1/3 – вторым.

Составить закон распределения числа изделий 1-го сорта среди 5 штук, отобранных случайным образом. Найти математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

6.8 В группе 10 автомобилей, 3 неисправных. Наудачу выбрано 2 автомобиля.

Составить закон распределения числа неисправных автомобилей среди двух отобранных. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

6.9 В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий.

Составить закон распределения числа бракованных изделий среди 6 взятых наудачу. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.10 В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости которых 200 и 100 долларов.

Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего два билета. Определить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.11 Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,7.

Составить закон распределения числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.12 Составить закон распределения и найти математическое ожидание и дисперсию числа очков при двух бросаниях игральной кости.

6.13 Вероятность поражения движущейся цели одним выстрелом равна 0,3. Стрельба ведется до первого попадания в цель. Пока цель находится в зоне обстрела, по ней успевают произвести не более 54 прицельных выстрелов.

Каков расход снарядов при стрельбе по 100 целям?

6.14 Игральную кость подбрасывают до тех пор, пока не появится шесть очков.

Составить закон распределения числа подбрасываний. Найти среднее число подбрасываний.

6.15 Вероятность того, что спортсмен при выполнении упражнения выполнит норматив, равна 0,7. Спортсмен повторяет упражнения до тех пор, пока не выполнит норматив.

Составить закон распределения числа использованных попыток, если ему дается не более трех попыток. Найти среднее число попыток.

6.16 У охотника имеется 5 патронов. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,3. Охотник стреляет до первого попадания.

Составить закон распределения числа использованных патронов. Указать дисперсию этой случайной величины.

6.17 Дискретная случайная величина задана своей функцией распределения (рис. 3):

у у=F(x)

1

4/5

1/5

–2 0 3 8 х

Рис. 3

Найти математическое ожидание Х.

6.18 В корзине 10 груш, из них 7 – желтых. Наудачу берут 4 груши.

Составить закон распределения числа зеленых груш среди выбранных. Найти математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

6.19 В водоеме плавают 7 рыб, из них 3 меченых. Наудачу вылавливают 5 рыб.

Составить закон распределения числа меченых рыб среди пойманных. Найти математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

6.20 Вероятность промаха у первого орудия равна 0,1, у второго – 0,2, у третьего – 0,3. Орудия делают выстрелы поочередно до первого промаха.

Составить закон распределения числа использованных снарядов, если каждое орудие делает не более одного выстрела. Найти среднее значение числа использованных снарядов.

6.21 В группе из 15 человек пятая часть – левши. Наудачу отбирают четырех человек.

Составить закон распределения числа левшей среди выбранных. Найти математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

6.22 Вероятность того, что на странице книги содержатся опечатки, равна 0,02.

Составить закон распределения числа страниц, имеющих опечатки в книге из 100 страниц. Найти математическое ожидание и дисперсию числа страниц, имеющих опечатки.

6.23 Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины : =1, =2, =3, а также известны =2,3 и =5,9.

Найти вероятности, соответствующие возможным значениям .

6.24 Известны законы распределения и – независимых случайных величин:

	–3	2
	0,7	…

	–1	0
	…	0,4

Составить закон распределения и функцию распределения случайной величины .

6.25 80% студентов имеют сотовые телефоны. Наудачу выбирают четырех студентов.

Составить закон распределения числа студентов, не имеющих сотовые телефоны. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.26 Закон распределения случайной величины имеет вид:

	–4	0	1

При этом = –0,5; . Найти , , .

	–1	0
	…	0,4

6.27 Известны законы распределения и – независимых случайных величин:

	–3	2
	0,7	…

Вычислить , если .

6.28 Дискретная случайная величина Х задана своей функцией распределения (рис. 4):

у у=F(x)

1

3/4

1/4

–1 0 4 7 х

Рис. 4

Найти математическое ожидание Х.

6.29 Вероятность попадания у первого орудия равна 0,6, у второго – 0,8, у третьего – 0,7. Орудия делают выстрелы поочередно до первого попадания.

Составить закон распределения числа использованных снарядов, если каждое орудие делает не более одного выстрела. Найти среднее число использованных снарядов.

6.30 Даны законы распределения случайных величин и :

Х	–4	0	5		У	–6	5
р	0,2	…	0,3		р	0,7	…

Составить закон распределения и построить график функции распределения.

6.31 Производится 3 независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события A равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины X – числа появления событий в указанных испытаниях. Найти , , .