2. Двоичная Арифметика

Двоичная СС

Основание системы q = 2₍₁₀₎ = 10₍₂₎. Используются цифры: 0 и1. Правила выполнения арифметических операций такие же, как и в любой другой позиционной СС:

Сложение 5+6 =11 (1011) 101 (5) (6) (11) Умножение 5*5 = 25 (11001) 101 101 101 000 101 11001

Вычитание 10-5 = 5 (101) (10) 101 (5) 101 Деление 35 : 5= 7 (111) 1 00011 101 111 101 101 101 101 000

Восьмеричная сс

Основание СС q = 8₍₁₀₎ = 10₍₈₎. Используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Примеры выполнения арифметических операций представлены в следующей таблице:

Сложение	Вычитание	Умножение	Деление
1632 1342 3174	1632 1342 270	1632 12 3464 1632 22004	1 632 12 12 134,1… 43 36 52 50 20 12 6

Шестнадцатеричная СС

Основание СС q = 16₍₁₀₎ = 10₍₁₆₎ . Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F.

Правила выполнения арифметических операций такие же, как и в десятичной системе счисления.

Двоично-десятичный код

Используется для представления десятичных чисел. При этом каждая десятичная цифра представляется отдельно четы­рёхразрядным двоичным числом и отделяется от соседней циф­ры точкой.

Пример. A₍₁₀₎ = 75,96

А ₍₂.₁₀₎ = 0111. 0101 . 1001. 0110

3. Методы перевода чисел из одной системы счисления в другую

П остановка задачи: имеется число в системе счисления р. Требуется представить это число в СС q: А_p А_q.

Существует несколько методов перевода. Рассмотрим основные.

Метод прямого замещения

Число А(р) расписывается в виде суммы по степеням основания р. В этой сумме все цифры и числа записываются в новой системе счисления. Производятся указанные арифметические операции в новой СС - q; в результате получаем число А(q).

Примеры: 1) A₍₂₎ = 1101; A₍₁₀₎ = ?

A₍₁₀₎ = 1*2 ³ + 1*2 ² + 0*2 ¹ + 1*2 ⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 =13.

2) A₍₈₎ =150; A ₍₁₀₎ = ?

A₍₁₀₎ = 1*8 ² + 5*8 ¹ + 0*8 ⁰ = 64 + 40 + 0 = 104.

3) A₍₁₆₎ = B8; A₍₁₀₎ =?

A₍₁₀₎ = 11* 16 ¹ + 8*16 ⁰ = 176 + 8 = 184.

4) A₍₁₀₎ = 38; A₍₈₎ = ?

A₍₈₎ = 3*12 ¹ + 10*12 ⁰ = 36 + 10 = 46.

Обратная проверка:

A₍₁₀₎ = 4*8 ¹ + 6*8 ⁰ = 32 + 6 = 38.

5) A₍₁₀₎ =21; A₍₂₎ = ?

A₍₂₎ = 10*1010 ¹ + 1*1010 ⁰ = 10100 + 1 = 10101

Обратная проверка:

A₍₁₀₎ = 1*2 ⁴+ 0*2 ³ + 1*2 ² + 0*2 ¹ + 1*2 ⁰ = 16 + 4+1 = 21.

Выводы:

• Метод прямого замещения удобен для перевода в десятичную систему счисления, так как арифметические действия производятся в новой, т.е. в системе счисления, привычной для нас.

• В ЭВМ- метод применяется для перевода из любой в любую другую СС, так как машина не «привыкает».