Практическая работа 4

Тема: Построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений при растяжении и сжатии, определение перемещений.

Цель: научиться строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, определять перемещения (удлинение или укорочение) участка бруса

Методические указания:

При осевом растяжении или сжатии стержня внутренние силы упругости в поперечных сечениях могут быть заменены равно­действующей силой, направленной вдоль оси стержня. Эту силу называют продольной силой - и обозначают буквой N.

Продольная сила в любом поперечном сечении численно равна алгебраической сумме проекций на ось стержня внешних сил, приложенных к части стержня, расположенной по одну сторону от сечения.

Величина продольной силы не зависит от площади поперечного сечения стержня.

При растяжении стержня продольную силу принято считать положительной, при сжатии-отрицательной.

График, показывающий закон изменения продольной силы по длине стержня, называется эпюрой продольных сил. Ось эпюры направляют параллельно оси стержня.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня, достаточно отдаленных от точек приложения действующих сил, при растяжении и сжатии распределяются равномерно по сечению. Величину напряжений определяют по формуле

σ= , н/м²

где F— площадь поперечного сечения стержня, м¹ (см²).

Наглядное представление об изменении напряжений в по­перечных сечениях стержня по его длине дает эпюра нормальных напряжений.

Эпюрой нормальных напряжений называют график, показы­вающий закон изменения напряжений в поперечных сечениях по длине стержня.

Изменение длины (удлинение или укорочение) участка бруса в границах применимости закона Гука определяют по формуле:

Δ =

где Е—модуль продольной упругости материала стержня, н/мм² .

Произведение EF называется жесткостью сечения стержня при растяжении или сжатии.

Приведенная формула для определения изменения длины Л/ справедлива, если продольная сила N и жесткость EF постоянны по всей длине стержня. В противном случае стержень разбивают на участки, для каждого из которых указанное требование соблю­дается, и изменение длины стержня определяют, как сумму изменения длин участков.

Примечания:

1. Скачки на эпюрах N имеют место в точках приложениях сосредоточенных сил, причем величина скачка равна приложенной внешней сосредоточенной силе.

2. На эпюре σ скачки имеют место не только в точках приложения сосредоточенных сил, но и в местах резкого изменения площади поперечного сечения.

3. Знаки на участках эпюры σ должны совпадать со знаками на соответствующих участках эпюры N.

Пример решения практической работы № 4:

Для стального ступенчатого бруса (рис. а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, а также определить перемещения свободного конца бруса (точки D), если заданы:

• площадь поперечного сечения F=7,5cм²;

• силы-Р₁ =120кН, Р₂=180кН, Р₃=150кН;

• модуль продольной упругости-E=2,1*10⁵ Н/мм²

Решение:

Заданный брус имеет пять участков /, //, ///, IV, V (рис. а).

Вычислим продольные силы для каждого участка:

для первого

N₁ =P₁=120 кН;

для второго

N₂= N₁ =120 кН;

для третьего

N₃=P₁ – P₂=120-180=-60 кН;

для четвертого

N₄=N₃=-60 кН;

для пятого

N₅=P₁-P₂+P₃=120-180+150=90 кН

Эпюра продольных сил показана на рис. б.

Вычислим напряжения в поперечных сечениях каж­дого участка:

для первого

σ₁=N₁/F₁=120•10³/7,5*2*10²=80 Н/мм²;

для второго

σ₂= N₂/ F₂= 120*10³/7,5*10²= 160 Н/мм²;

для третьего

σ₃=N₃/F₃=-60*10³/7,5*10²=-80 Н/мм²;

для четвертого

σ₄=N₄/F₄=-60*10³/7,5*1,6*10²=-50 Н/мм²;

для пятого

σ₅=N₅/F₅=90•10³/7,5*1,6*10²=75 Н/мм².

Эпюра нормальных напряжений построена на рис. в.

Перейдем к определению перемещений поперечных сечений. Перемещение свободного конца бруса определяется как алгебраическая сумма удлинений (укорочений) всех его участков:

Δ = ;

Подставляя числовые значения, получаем перемещение точки D:

= (80*2500+160*1000 — 80*1000 ——50*1500+75*500)= 1,15 мм,

где и т.д.-длина участка бруса в мм (определяется по рисунку).