81 Сущность имитационного моделирования, возможности и ограничения при использовании.

Имитационные модели строят, когда объект сложен настолько, что описать его поведение математическими уравнениями или трудно, или невозможно. Имитационная модель позволяет задавать входные воздействия, похожие по параметрам на реальные или желаемые воздействия и варьируя структурой объекта, изучают его поведение. При построении имитационной модели используются простые схемы, описывающие объект по частям, при этом решается задача как расчленить объект на независимые части и осуществить их сопряжение. При учете внешних воздействий, имитационные модели обеспечивают наибольшую близость модели к объекту, чем при применении других математических подходов. Имитационные модели позволяют получать данные о функционировании объекта или его части, оценивать поведение объекта и выбирать оптимальную траекторию его развития. Имитационное моделирование означает, что есть матмодели, с помощью которых нельзя непосредственно вычислить или предсказать результат моделирования. Т.о. для получения результатов поведения реальной системы необходим эксперимент или имитация на модели при заданных исходных данных. Имитация – численный метод проведения на ЭВМ экспериментов с матмоделями, описывающими поведение сложной системы в течение заданного или формируемого времени. Под процессом имитации на ЭВМ понимается и конструирование модели, и ее испытание, и применение модели для изучения некоторых явлений или проблем. При построении имитационной модели исследователя интересует возможность вычисления некоторого функционала, заданного на множестве реализаций процесса изучаемой системы. Наиболее важным для исследователя является показатель эффективности системы. Имитируя различные реальные ситуации на имитационной модели, исследователь получает возможность решения таких задач, как оценки эффективности различных принципов управления, сравнение вариантов структуры системы, влияние изменений параметров и начальных условий на показатели эффективности системы. Каждая модель состоит из:

1 Компоненты – составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему

2 Параметры – величины, которые исследователь может выбирать произвольно, в отличие от переменных моделей, которые могут принимать только значения, определенные системой

3 функциональные зависимости – определяют поведение переменных в пределах компоненты или выражают соотношение между компонентами. Эти соотношения могут быть стохастическими или детерминированными

4 Ограничения – установленные пределы значений переменных или ограничения условий их изменения

5 Целевая функция – отображение целей или задач системы и необходимых правил оценки их выполнения.

Основное ограничение – большая трудоемкость создания модели, а также потребность в мощных ЭВМ для проведения имитаций.

82 Условия существования экстремумов целевой функции

Рассмотрим задачу поиска экстремума целевой функции в одномерном случае. F(x) определена на [a;b] и n-кратно дифференцируема на интервале. Условия существования экстремума:

1

2 для минимума; для максимума.

Точки, в которых выполняется условие 1 и 2 – стационарные, а сами условия – необходимые условия наличия экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, необходимо выполнение достаточных условий. Для их формулировки предположим, что в точке Х* первые m-1 производных обращаются в ноль, а производная m-го порядка не равна нулю => если m нечетное число, то Х* - точка перегиба, если m четное число, то Х* - точка локального экстремума. Все рассмотренные положения относятся к непрерывной целевой функции, для которой 1-я производная существует и непрерывна во всей области определения, но непрерывная целевая функция может иметь изломы, в которых она не дифференцируема. Если экстремум окажется в точке излома или разрыва, то даже необходимые условия не будут выполняться. Для целевой функции, у которой множество аргументов, имеющей все первые и вторые частные производные, необходимое и достаточное условие определяется аналогичным образом. Необходимое условие наличия экстремума:

Достаточное условие для достижения максимума – матрица Гессе отрицательно определена в точке Х*. Для минимума – определена положительно. Если достаточное условие не выполняется – это седловая точка.

Матрица Гессе – матрица вторых частных производных целевой функции по управляемым параметрам. Матрица Гессе:

d^2F(x)/dx1^2	d^2F(x)/dx1dx2	…	d^2F(x)/dx1dxn
d^2F(x)/dx2dx1	d^2F(x)/dx2^2	…	d^2F(x)/dx2dxn
d^2F(x)/dxndx1		…	d^2F(x)/dxn^2

Проверка этих условий позволяет выявить локальные экстремумы, но определить, являются ли они глобальными невозможно.