83 Постановка задачи оптимизации

Матмодели объектов позволяют осуществить анализ процессов их функционирования, получить оценки выходных параметров в различных ситуациях и выбирать наилучшее решение из возможных альтернатив, т.о. выделяются 2 задачи: анализа и синтеза. Многообразие исследовательских и проектных задач привело к разработке множества методов оптимизации, обладающих различными свойствами и возможностями поиска экстремума с учетом особенностей моделей объектов. Под оптимизацией понимается процесс поиска наилучшего варианта решения некоторой задачи в условиях множества альтернатив. Основой правила предпочтений, которое используется при оптимизации, должна быть 1 однозначная численная характеристика объекта – скалярная функция (целевая функция). Она отображает цель поиска оптимального решения. Задача параметрической оптимизации заключается в поиске параметров, при которых целевая функция достигает своего экстремума. Параметры, доставляющие экстремум целевой функции являются оптимальными. Аргументами целевой функции являются внутренние управляемые параметры, т.е. параметры, описывающие свойства элементов, подлежащих оптимизации. Вектор управляемых параметров Х={Хn}, целевая функция – F(x), т.о. поиск решения осуществляется в n-мерном Евклидовом пространстве. Целевая функция может быть представлена геометрически в виде поверхности отклика. Функции, имеющие только 1 экстремум называются унимодальными. Непрерывная функция может иметь несколько экстремумов => есть точки локального и глобального экстремумов. Глобальный экстремум можно определить путем нахождения всех локальных экстремумов и их сравнения. Если экстремум отыскивается в неограниченной области параметров Х, то его называют безусловным экстремумом, а методы поиска – безусловной оптимизацией. Но в большинстве случаев присутствуют ограничения. Виды ограничений:

1 неравенство

2 равенства

Наличие ограничений означает условную оптимизацию, при которой находится условный экстремум целевой функции. Наложение ограничений приводит к тому, что поиск решения ограничивается областью Х (т.е. областью работоспособности объекта).

84 Понятие оптимальности по Парето при решении многокритериальных задач

Векторный характер критериев оптимальности создает проблему формирования целевой функции. Сложность ее обуславливается не только количеством критериев, но и характером их поведения. Обычно рост одного критерия ведет к уменьшению другого – это т.н. конфликтные критерии. Если определить оптимальные параметры объекта по каждому из критериев в отдельности, то они окажутся различными => при наличии векторного критерия возможно некоторое компромиссное решение.

Точка С является точкой пересечения двух поверхностей отклика на одном уровне. Линия АСВ соответствует линии оптимального компромисса. Проекция ее на оси Х1 и Х2 дает множество эффективных точек Хэф или точек Парето. В силу однозначной зависимости между управляемыми параметрами и критериями можно перестроить график в других координатах.

Т.о. точками Парето являются точки пространства управляемых параметров, для которых выполняется условие:

где Сj – вес критерия, Fj(x) – критерий, Ф(х) – предельно достижимое значение целевой функции. ΣСj = 1. Метод Парето позволяет сбалансировать противоречия между критериями и получить оптимальное компромиссное решение задачи.