Отчет по работе:

Отчет по работе должен включать следующие пункты:

1. Титульный лист.

2. Наименование и цель работы.

3. Схему опытной установки.

4. Таблицу наблюдений.

5. Определение погрешности измерений основных величин.

6. Обработку результатов опыта.

7. Выводы.

Лабораторная работа №7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБКИ ИЗ ВЕЛИЧИНЫ.

1. Систематические и случайные ошибки

Измеряя какую-нибудь физическую величину, не удается получить ее истинное значение. Поэтому необходимо указать, насколько полу­ченный результат может быть близким к истинному значению, т.е. указать, какова точность измерения. Для этого вместе с полученным результатом указывают приближенную ошибку измерения.

Оценивать ошибки необходимо, так как, не зная их величину, сде­лать определенных выводов из эксперимента нельзя.

Чаще всего с понятием "точность экспериментальных данных" связы­вают величину максимально возможной ошибки. Так, например, если ут­верждают, что точность полученных значений плотности 0,2%; то это значит, что величина максимально возможной ошибки в этих данных не превышает 0,25%.

Источники ошибок экспериментальных данных многочисленны, и здесь в первую очередь следует указать на имеющиеся всегда погрешности приборов, используемых при измерениях, несовершенство методики изме­рения, недостаточно строгое поддержание требуемого режима во время опыта, а также отдельные ошибки самого экспериментатора при работе на установке.

Ошибки измерения принято делить на систематические и случайные.

К систематическим ошибкам относят такие, которые получаются всегда на данной установке; они имеют одну и ту же величину, и в окончательный результат измерений вносят одну и ту же погрешность.

Систематические ошибки лучше всего могут быть обнаружены при срав­нивании экспериментальных данных, полученных на различных установках. Некоторые из них могут быть устранены, а другие устранить невозможно. Так, например, ошибка величиной не более 0,04 °С при измерении температуры термометром сопротивления устранена быть не может, так как гарантировать большую точность измерения температуры (при t = 500°С) просто невозможно.

Случайные ошибки проявляются в так называемом разбросе экспери­ментальных данных. Это означает, что при многократном измерении одной и той же величины на одной и той же установке и с теми же приборами (манометрами, термометрами и т.д.) получаются несколько отличающиеся друг от друга значения.

Влияние случайных ошибок на окончательный результат Измерения . мокко значительно снизить, многократно повторяя измерения и выбирая в качестве окончательного среднее значение из многих полученных.

Полностью исключить случайные ошибки, т.е. полностью избавиться от разброса экспериментальных данных, невозможно: следует стремиться к более строгому поддержанию режима при измерении и тщательному вы­полнению отсчетов по приборам.

2. Максимально возможная ошибка одного измерения

Необходимо выяснить, как будут влиять ошибки измерения отдельных величин на искомую величину определяемую при помощи формулы. Разбе­рем этот вопрос в общем виде.

Пусть искомая величина W является функцией нескольких (допус­тим, трех) величин, измеряемых непосредственно в опыте:

w=f(x,y,z)

(67)

Если бы ошибки в измерении величин x,y и z были бесконечно малыми, то ошибка в величине w, определялась бы ее полным дифференциалом:

(68)

В действительности, ошибки в измерения величин x, y и z не будут бесконечно малыми, однако для расчета величины ошибки можно воспользоваться аналогичной формулой, подставляя вместо dx, dy и dz действительно конечные величины ошибок Δx, Δy и Δz.

Итак, получаем:

(69)

где Δw - максимально возможная абсолютная ошибка искомой вели­чины w;

Δx, Δy и Δz - абсолютные ошибки в измерении величины x, y и z

По формуле (69) вычисляется максимально возможная ошибка, поэтому все ее члены берутся по абсолютному значению и суммируются.

В действительности, при проведении измерений ошибка может быть значительно меньше, так как входящие в (69) слагаемые могут иметь разные знаки, однако в наихудшем варианте все три слагаемые будут иметь один и тот же знак, что даст максимально возможную ошибку.

Часто требуется найти максимально возможную относительную ошибку δw=Δw/w . Её можно получить, разделив (69) на W, т.е.:

(70)

Формула (70) является общей, по ней можно вычислить максимально возможную ошибку искомой величины w при любой функциональной за­висимости w=f(x,y,z).

Для выражения δw в процентах формулу (70) следует умножить на 100.

В дополнение к общей формуле рассмотрим несколько частных случаев.

Очень часто встречается случай, когда искомая величина w определяется как произведение измеряемых величин x, y и z в различ­ных степенях и постоянной А, т.е.:

w=A·x^α · y^β · z^γ

(71)

Причем α, β и γ могут быть любыми положительными или отрица­тельными числами. Заметим, что формула (72) охватывает случаи, опи­санные формулами (67) и (68).

Для функциональной зависимости (71) можно получить более конкрет­ное выражение для подсчета максимально возможной относительной ошибки величины.

Возьмем производные, входящие в (70):

(72)

Подставив в (70) эти значения и значение w по (71), получим:

(73)

Откуда:

(74)

Обозначая относительные ошибки величин, непосредственно измеряемых в опыте:

(75)

Окончательно получаем:

δw=|αδx|+|βδy|+|γδz|

(76)

Эта формула еще больше упрощается, если α, β и γ равны единице или единице с минусом. Тогда получим:

δw=|δx|+|δy|+|δz|

(77)

Последнее можно сформулировать следующим образом: если искомая величина w является произведением постоянной и измеряемых вели­чин x, y и z в первой или минус первой степени, то относительная ошибка искомой величины w является суммой относительных ошибок этих измеряемых величин.

Разберем другой случай. Пусть:

w = x + y + z

(78)

Определим величину максимально возможной относительной ошибки. Согласно (70) получим:

(79)

Однако чаще всего бывает желательно выразить относительную ошибку искомой величины через относительные ошибки величин, измеряемых в опыте, а не через абсолютные, как это сделано в формуле (79).

Для этого преобразуем каждое слагаемое в (79):

(80)

Тогда для функциональной зависимости (78) получим формулу для рас­чета ошибки:

(81)

Вполне естественно, что формулы (70) - (81) могут быть распростра­нены на любое число переменных.

Величина относительной ошибки искомой величины в (76), (77) и (81) будет выражена в процентах, если δx, δy и δz подставляются также в процентах.

Особо следует остановиться на случае, когда искомая величина w определяется как разность двух измеряемых в опыте величин, т.е.:

w= x – y

(82)

Если величины x и у близки друг другу по величине, то вслед­ствие погрешностей этих величин искомое значение w может получи­ться с очень большой ошибкой, что совершенно неприемлемо.

Разберем следующий пример. Пусть величина x = 50 и измерена с точностью ± 1, т.е. с ошибкой ± 2 %. Пусть величина y = 45 и измерена с точностью также ± 1, т.е. ошибка составляет ± 2,22 %,

Вычислим величину w совместно с максимальной абсолютной по­грешностью:

w= x – y = (50 ± 1) – (45 ± 1)= 5 ± 2.

Таким образом, несмотря на то, что погрешность в измерениях x и y так уж велика (2 и 2,22 %), погрешность в искомой величине получается очень большая, т.е.:

Применяя к этому случаю формулу (81), получаем тот же результат:

Приведенный пример показывает, что надо крайне осторожно идти на такие измерения, при которых приходится вычитать близкие друг к другу по величине числа.

В таблице. 1 приведены формулы для расчета максимально возможной относительной ошибки для некоторых функциональных зависимостей. В этой таблице через А, В, С, Д; α, β, γ и l обозначены числен­ные коэффициенты, а через x, y, z и υ - величины, непосред­ственно измеряемые в эксперименте; δx, δy, δz и δυ - от­носительные ошибки измеряемых величин, а δw - максимально воз­можная относительная ошибка искомой величины.