- •Геометрические векторы. Основные понятия: определение, модуль,коллинеар- ность, равенство векторов, проекция вектора на направление другого вектора.
- •Линейные операции над геометрическими векторами. Правила треугольника и параллелограмма сложения векторов. Свойства линейных операций.
- •Линейная зависимость системы векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов (доказательство).
- •Необходимое и достаточное условие линейной зависимости двух; трех векторов.
- •Определение линейного пространства. Размерность линейного пространства.
- •Базис плоскости; базис трехмерного пространства. Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •Декартов ортонормированный базис плоскости; трехмерного пространства. Вычисление модуля вектора в ортонормированном базисе.
- •Теорема о вычислении скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе
Необходимое и достаточное условие линейной зависимости двух; трех векторов.
Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух
векторов является их коллинеарность. Всякие три вектора лежащие в одной плоскости линейно зависимы.
Определение линейного пространства. Размерность линейного пространства.
Обобщающее понятие для математической множеств различной природы, в котором введены линейные операции, обладающие теми же свойствами, что и линейные операции над геометрическими векторами. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.
Базис линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе.
Базисом линейного пространства называется упорядоченная система векторов , если: 1.она линейно независима. 2. Каждый вектор данного пространства может быть представлен виде линейных комбинаций базисных векторов.
Любая упорядоченная линейно независимая система векторов линейного пространства образует базис пространства и любой вектор единственным образом выражается через векторы базиса: .
Числа называют координатами вектора в базисе и обозначают . При этом для любых двух произвольных векторов -мерного линейного пространства , и произвольного числа справедливо: и .
Теорема о единственности разложения вектора по данному базису (док-во).
Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.
Базис плоскости; базис трехмерного пространства. Линейные операции над векторами в координатной форме.
Ба́зис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виделинейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.
Базисом в трехмерном пространстве R3 называется упорядоченная тройка любых линейно-независимых векторов.
Линейные операции над векторами можно выполнять как в векторной, так и в координатной формах, например:
1. Сложение векторов.
Векторная форма.
.
Координатная форма.
.
2. Умножение вектора на число.
Векторная форма.
.
Координатная форма.
.
Декартов ортонормированный базис плоскости; трехмерного пространства. Вычисление модуля вектора в ортонормированном базисе.
Декартовой называется система, базисные векторы которой взаимно ортогональны, по модулю равны единице и образуют правую тройку. Обозначаются базисные векторы латинскими буквами, которые называются, в соответствии с традицией, по-французски: i – и, j – жи, k – ка
Радиус-вектор точки. Координаты точки в пространстве. Расстояние между двумя точками. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Ра́диус-ве́ктор (обычно обозначается или просто ) — вектор, задающий положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началомкоординат.
Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.
Скалярное произведение двух векторов; его свойства. Вычисление скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе. Условие ортогональности векторов в координатной форме.
cos , cos , cos =1
Определение.
Скалярным произведением двух векторов называется число равное произведению длин векторов на cos угла между ними =
Свойства.
1.
2. = 2;
3.
4. * =0
5. *( + )* = * + *
6.cos( * )=
7
8.Если = : = в {i, j,k.}, то * =a1*b1+a2*b2+a3*b3
Условие ортогональности.(перпендик)
и в ортонормированном базисе.
; = => a1*b1+a2*b2+a3*b3=0
Если = : = в базисе{i, j,k.} => cos( ; )=