Непрерывность функции в точке и на множестве

П

30

усть f:E® R, a -точка области определения.

Определение 21 (непрерывность функции в точке). Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если " U(f(a)) $ U(a) (f(U(a))М U(f(a))).

Дадим определение непрерывной функции в точке на "языке e–d " (ср. с определением предела по Коши.)

Определение 22 (непрерывность функции по Коши). Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если " e > 0 $ d(e)>0: " x удовлетворяющих условию |x-a|< d, выполнено неравенство |f(x)-f(a)|< e

Замечание. Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a)М U(f(a)), " U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E.

Из определения непрерывной функции следует, что f:E® R непрерывна в aО E, где a- предельная точка EЫ lim_{x® a}f(x) = f(a)

Последнее равенство можно переписать в следующей форме

lim_{x® a}f(x) = f(lim_{x® a}x),

которое говорит о том, что непрерывные в точке функции перестановочны с операцией предельного перехода.

Приведем еще одно определение непрерывной функции.

Определение 26 (непрерывность функции на множестве). Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.

То, что f(x) непрерывна на множестве X обозначается следующим образом: f(x)О C_X.

Определение 27. Функция называется непрерывной на отрезке [a,b] , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

То, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] обозначается следующим образом: f(x)О C_[a,b].

Перечислим основные глобальные свойства непрерывных функций.

Классификация разрывов.

Р

31

ассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀ является точкой разрыва, если  функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

            Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа. 

х₀

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.

х₀

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

 Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен. 

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке х₀.