Угол между двумя плоскостями

Н

20

айдем теперь угол между плоскостями и . Поскольку векторы и перпендикулярны данным плоскостям, то угол между ними равен двугранному углу между плоскостями. Поэтому

. (6.8)

Если выражение в (6.8) положительное, то - острый угол, если отрицательное, то оно соответствует тупому двугранному углу .

Из формулы (6.8) получаем условие перпендикулярности двух плоскостей

. (6.9)

Условие параллельности двух плоскостей получается из условия коллинеарности векторов и :

. (6.10)

Если , то плоскости совпадают, так как их уравнения отличаются постоянным множителем.

Каноническое и параметрическое уравнение прямой в пространстве

О

21

тметим без доказательства, что расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением , находится по формуле

.

Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т.е.

- (6.12)

канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку . Вектор - направляющий вектор прямой.

Обозначив общее значение дробей в уравнении (6.12) буквой t, т.е. положив = t, получим

- (6.13)

параметрические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку в направлении вектора . Параметр .

С помощью канонических уравнений прямой (6.12) можно получить уравнение прямой, проходящей через две данные точки и . Вектор лежит на искомой прямой, поэтому может рассматриваться как направляющий вектор прямой, проходящей через точку . Тогда по формуле (6.12) получаем

- (6.14)

искомое уравнение прямой.

Известно, что пересечением двух плоскостей в пространстве является прямая. Поэтому прямая в пространстве может быть задана системой уравнений

(6.15)

При этом предполагается, что плоскости и не совпадают и не параллельны.

Угол между прямей и плоскостью

П

22

усть - угол между прямой и плоскостью . Тогда угол между векторами (направляющий вектор прямой) и (нормальный вектор плоскости) равен . Поэтому

. (6.16)

Из формулы (6.16) получаем условия параллельности

(6.17)

и перпендикулярности прямой и плоскости . (6.18)

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

г

23

де и -- положительные числа.

Эллиптический параболоид 

Двуполостный гиперболоид

Однополостный гиперболоид

Эллипсоид

Числовая последовательность

О

25

пределение 1. Если каждому значению n из множества натуральных чисел ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число , то множество занумерованных действительных чисел называется числовой последовательностью

– члены последовательности, – сокращенная запись последовательности. Например, .

Определение 2. Пусть даны две последовательности и . Последовательности называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным последовательностей и .

Определение 3. Последовательность называется ограниченной, если множество ее членов ограничено, т.е. существует число , такое, что . Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М, такое, что .

Если последовательность неограниченна, то для любого числа найдется номер n такой, что . Ясно, что если последовательность ограничена только снизу или только сверху, то она неограниченна. Среди неограниченных последовательностей выберем бесконечно большие последовательности.

Определение 4. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого найдется номер N, такой, что для всех .

Всякая бесконечно большая последовательность неограниченна, но не всякая неограниченная последовательность бесконечно большая. Примером этого может служить последовательность .

Определение 5. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого найдется номер N, такой, что для всех .

Установим основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть и – бесконечно малые последовательности. Возьмем произвольно и положим . По определению 5 для найдутся номера и , такие, что для всех и для всех . Положим . Тогда для всех и по определению 5 последовательность бесконечно малая. Теорема доказана.

Аналогично доказываются

Теорема 2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Т

25

еорема 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность (доказать самостоятельно).

Теорема 4. Всякая бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть – бесконечно малая последовательность. Положим . По определению 5 найдется номер N, такой, что для всех . Обозначим . Тогда для всех n. Теорема доказана.

Следствие теорем 3 и 4. Произведение двух (любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность (доказать самостоятельно).

Теорема 5. Если все члены бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу с, то .

Доказательство. Предположим противное, т.е. что . Возьмем . По определению 5 найдется номер N, такой, что для всех , т.е. для всех , а этого не может быть, так как для всех n. Противоречие доказывает утверждение теоремы.

Теорема 6. Если – бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Возьмем произвольно и положим . Тогда по определению 4 найдется номер N, такой, что для всех значений . Отсюда для всех , т.е. – бесконечно малая последовательность по определению 5. Теорема доказана.

Теорема 7. Если – бесконечно малая последовательность и все члены этой последовательности отличны от нуля, то последовательность – бесконечно большая (доказать самостоятельно).

Определение 6. Последовательность называется сходящейся к числу а, если последовательность является бесконечно малой. При этом число а называют пределом последовательности и пишут или при .

И

26

з определения 6 следует, что любая бесконечно малая последовательность сходится к нулю, так как = , то есть . В частности, и, в силу свойств бесконечно малых последовательностей, для любых и .

Равносильные

Определение 7. Последовательность называется сходящейся к числу а, если для любого найдется номер N, такой, что для всех значений .

Из определения 7 получаем, что предел любой постоянной величины А равен этой постоянной величине, то есть , так как для любого для всех значений .

Определение 8. Последовательность называется сходящейся к числу а, если в любой -окрестности точки а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Замечание. Из определения 6 следует, что если последовательность сходится к а, то , где – бесконечно малая последовательность, отсюда . Верно и обратное, т.е. если последовательность можно представить в виде суммы постоянной а и бесконечно малой последовательности, то последовательность сходится к числу а. Действительно, по определению 6.