Обратная матрица

О

5

пределение 10. Матрица , для которой , называется обратной матрицей к квадратной матрице А.

В алгебре доказывается, что для матрицы , определитель которой не равен нулю, обратной матрицей является матрица , где , а – алгебраическое дополнение элемента .

Пример 6. Решим систему уравнений примера 1 матричным методом.

Решение. Имеем – матрица системы, = –2 (см. решение примера 1), – матрица-столбец неизвестных, – матрица-столбец свободных членов. Найдем обратную матрицу . Для этого сначала вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А, а затем элементы матрицы . Имеем , , , , , , , , , , , , , , , , , . Таким образом, матрица . Теперь найдем . Отсюда находим . Ответ: .

Размерность. Базис. Линейное подпространство

Д

6

адим сначала определение поля.

Полем называется множество элементов , в котором определены операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим условиям:

1. Для любых двух элементов однозначно определена сумма , причем:

а) (закон коммутативности для сложения);

б) (закон ассоциативности для сложения);

в) уравнение разрешимо для всех .

2. Для любых двух элементов однозначно определено произведение , причем:

а) (закон коммутативности для произведения);

б) (закон ассоциативности для произведения);

в) существует элемент , называемый единицей, такой, что для любого элемента ;

г) для любого элемента существует обратный элемент , т.е. такой элемент , что .

3. Для любых элементов (закон дистрибутивности).

Примерами полей являются множество рациональных чисел Q и множество действительных чисел R с обычными операциями сложения и умножения.

Введем теперь понятие линейного пространства. Пусть Р – некоторое поле.

Определение 2. Непустое множество L элементов называется линейным или векторным пространством над полем Р, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. Для любых двух элементов однозначно определен третий элемент , называемый их суммой и обозначаемый , причем

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) в L существует такой элемент , что для всех (существование нуля);

4) для каждого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).

2. Для любого элемента и любого элемента определен элемент (произведение элемента х на элемент ), причем

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решим однородную систему уравнений

Для этого преобразуем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Найдем их. Из вида последней матрицы получаем, что система (4.2) эквивалентна системе

6

, , где принимают произвольные значения, т.е. можно положить , где – произвольные действительные числа. Тогда

, – общее решение однородной системы

Определение 5. Непустое подмножество линейного пространства L называется подпространством, если оно само образует линейное пространство по отношению к определенным в L операциям сложения и умножения на число.

Определение 6. Подпространство, отличное от L и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собственным.

1. Пусть L – какое-либо линейное пространство и х – некоторый его ненулевой элемент. Совокупность элементов , где пробегает множество всех действительных чисел, образует одномерное подпространство. Оно является собственным, если размерность L больше 1.

2. Совокупность М всех решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (3.5), имеющей нетривиальное решение – собственное подпространство n-мерного арифметического пространства .