Угол между двумя прямыми

П

х

у

О

15

усть теперь прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: и . Найдем угол между этими прямыми. Пусть и - углы, образованные данными прямыми с положительным направлением оси Ох, тогда ,

, = + , = . Таким образом, . Чтобы угол был положительным, положим , откуда

.

В частности, , если

, (4.12)

и , если , т.е.

. (4.13)

Таким образом, нами получены условие перпендикулярности и параллельности (4.12) прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.

Пример 3. Найдем острый угол между прямыми и .

Отметим без доказательства, что расстояние от точки до прямой, заданной уравнением , находится по формуле

.

Окружность и эллипс

О

х

у

О

16

пределение 1. Окружностью называется множество всех точек М(х,у) плоскости, расстояние которых до фиксированной точки А(а,b) есть величина постоянная, равная R.

В

М(х;у)

ыведем уравнение окружности. По формуле (3.9) расстояния между двумя точками находим и (5.1)

.А(а;b)

Уравнение (5.1) называется каноническим уравнением окружности с центром А(а,b) и радиусом R.

В частном случае, когда центром окружности является начало координат, уравнение (5.1) имеет вид .

Определение 2. Эллипсом называется множество всех точек М(х,у) плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек и (фокусов) есть величина постоянная, равная .

Определение 3. Расстояние между фокусами называется фокальным расстоянием и обозначается 2с. Середина отрезка называется центром эллипса. Прямая, на которой лежат фокусы, называется фокальной осью эллипса, перпендикулярная к ней прямая, проходящая через центр эллипса, называется второй осью эллипса. Точки пересечения осей эллипса с эллипсом называются вершинами эллипса. Отрезок, а также длина 2а этого отрезка, фокальной оси эллипса, заключенный между вершинами эллипса, называется большой осью эллипса. Малой осью эллипса называется отрезок, а также длина 2b этого отрезка, второй оси эллипса, заключенный между вершинами эллипса. Числа а и b называются большой и малой полуосью эллипса. Число называется эксцентриситетом эллипса. Прямая, перпендикулярная фокальной оси эллипса и отстоящая от центра на расстоянии , называется директрисой эллипса.

Очевидно, что у эллипса две директрисы. Каноническое уравнение эллипса, соответствующее частному случаю, когда центр эллипса находится в начале координат, фокальная ось совпадает с осью Ох, а вторая ось эллипса – с осью Оу, имеет вид

у

. (5.2)

М(х;у)

b

Заметим, что эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса. Так как , то при получаем с = 0 и е = 0, т.е. окружности соответствует эксцентриситет, равный нулю. При b близком к нулю эксцентриситет близок к 1, т.е. чем ближе эксцентриситет к 1, тем больше сплюснут эллипс.

Г

17

иперболой называется множество всех точек М(х,у) плоскости, модуль разности расстояний которых до двух данных точек и (фокусов гиперболы) есть величина постоянная, равная 2а .

О

.

.

пределение 5. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокальным расстоянием и обозначается 2с. Середина отрезка называется центром гиперболы. Прямая, на которой лежат фокусы гиперболы, называется действительной (или фокальной) осью гиперболы, перпендикулярная к ней прямая, проходящая через центр гиперболы, называется мнимой осью гиперболы. Числа а и называются соответственно действительной и мнимой полуосью гиперболы.

Точки пересечения осей с гиперболой называются вершинами гиперболы. Число называется эксцентриситетом гиперболы. Прямая, перпендикулярная действительной оси гиперболы и отстоящая от центра на расстоянии , называется директрисой гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

, (5.3)

где а и - полуоси гиперболы. Прямые называются асимптотами гиперболы.

Определение 6. Параболой называется множество всех точек М(х,у) плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до данной прямой d (директрисы).

Определение 7. Точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется вершиной параболы, а ось симметрии – осью параболы. Эксцентриситет параболы равен единице.

К аноническое уравнение параболы имеет вид

, (5.4)

где p – расстояние от фокуса до директрисы.

П

.

арабола обладает следующим оптическим свойством: световые лучи, исходящие из фокуса, после зеркального отражения от параболы распространяются параллельно оси.

Пример 5. Уравнение параболы имеет вид . Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы. Построим параболу и директрису.

Решение. Имеем , поэтому p = 2 . Тогда уравнение директрисы имеет вид , фокус F(1;0)

общие уравнением плоскости

Определение 1. Плоскостью в пространстве называется множество всех точек М(х;у;z), координаты которых удовлетворяют уравнению

18

, (6.1)

где А, В, С, D – заданные числа, причем А, В и С не равны нулю одновременно. Уравнение (6.1) называется общим уравнением плоскости.

Геометрический смысл коэффициентов А, В и С состоит в том, что вектор перпендикулярен плоскости, его называют нормальным вектором плоскости. Этот факт устанавливается так же, как и в случае общего уравнения прямой на плоскости.

Из уравнения (6.1) следует, что если D = 0, то плоскость проходит через начало координат, так как координаты начала координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению .

Пусть С=0. Тогда уравнение

(6.2)

определяет плоскость, проходящую через прямую с этим уравнением в плоскости хОу и перпендикулярную этой плоскости. Какова бы ни была точка М(х;у;z), принадлежащая плоскости, ее координаты х, у удовлетворяют уравнению (6.2) независимо от того, какую она имеет третью координату z.

Если В = 0, С = 0, то уравнение

(А 0) (6.3)

есть частный случай уравнения (6.2). Преобразовав его к виду , заметим, что ему удовлетворяют точки, имеющие координату и произвольные координаты y и z, т.е. это плоскость, параллельная плоскости yOz или, что то же, перпендикулярная оси Ох.

Другие частные случаи уравнения (6.1) рассматриваются аналогично.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

О

19

пределение 2. Если числа А, В, С, D не равны нулю, то уравнение можно записать в виде

, (6.4)

где . Уравнение (6.4) называется уравнением плоскости в

отрезках.

По уравнению (6.4) легко представить себе расположение плоскости относительно системы координат, так как ось Ох она пересекает в точке (а;0;0), ось Оу – в точке (0;b;0),

ось Oz – в точке (0;0;с).

Если точка лежит на плоскости (6.1), то

. (6.5)

Вычитая (6.5) из (6.1), получим

– (6.6)

уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Получим теперь уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и . Пусть точка тоже лежит в искомой плоскости. Тогда векторы , и лежат в этой плоскости, т.е компланарны. Из условия их компланарности получаем уравнение 0 или

. (6.7)

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.