Системы линейных алгебраических уравнений

О

3

пределение 1. Система уравнений вида

(3.1) где m и n - натуральные числа, - заданные числа, - неизвестные, называется системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (СЛАУ). Числа называются коэффициентами при неизвестных, числа - свободными членами.

Определение 2. Решением СЛАУ (3.1) называется такой набор чисел , что каждое из уравнений системы обращается в тождество при подстановке вместо соответствующих неизвестных.

Определение 3. СЛАУ (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместной, если не имеет ни одного решения, определенной, если имеет единственное решение, неопределенной, если имеет более одного решения.

Определение 4. Две СЛАУ называются равносильными, если их решения совпадают.

Определение 5. Перестановки уравнений системы, умножение какого-либо уравнения на число, отличное от нуля, прибавление к уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на постоянное число, исключение из системы уравнения, все коэффициенты которого равны нулю, называются элементарными преобразованиями СЛАУ.

Определение 6. Каждой СЛАУ соответствует матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, которая называется матрицей системы. Матрица, полученная присоединением к матрице системы столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Определение 7. Перестановка строк матрицы, умножение какой-либо строки матрицы на число, отличное от нуля, прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на постоянное число, вычеркивание строки матрицы, все элементы которой равны нулю, называются элементарными преобразованиями матрицы. Если матрица В может быть получена из матрицы А с помощью элементарных преобразований, то матрицы А и В называются эквивалентными.

Если число уравнений системы (3.1) равно числу неизвестных, т.е. , то имеет место

Теорема 1. Если определитель матрицы системы (3.1) не равен нулю, то система (3.1) имеет единственное решение, вычисляемое по формулам Крамера

, где - определитель матрицы, получаемой из матрицы А системы (3.1) заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Теорема 2. Если определитель матрицы однородной системы (3.5) не равен нулю, то эта система имеет только тривиальное решение.

Определение 8. Система уравнений вида

(3.5) называется однородной СЛАУ.

Т

3

еорема 3. Если система уравнений (3.5) имеет нетривиальное решение, то определитель ее матрицы необходимо равен нулю.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что . Тогда по теореме 2 система (3.5) имеет только тривиальное решение, что противоречит условию теоремы. Поэтому должно быть . Ч.т.д.

Определение 9. Рангом матрицы называется число, равное числу строк ступенчатой матрицы, эквивалентной данной матрице.

Кронекера-Капелли. Система (3.1) m линейных уравнений с n неизвестными имеет решение тогда и только тогда, когда матрица системы и расширенная матрица системы имеют один и тот же ранг.

Д

4

оказывать теорему не будем.

Таким образом, из теорем 4 и 1 следует, что: 1) если ранг расширенной матрицы системы (3.1) больше ранга матрицы системы, то система решения не имеет, т.е. система (3.1) несовместна; 2) если эти ранги равны, но меньше n, то система (3.1) совместна и имеет бесконечно много решений, т.е. является неопределенной; 3) если ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны и равны числу неизвестных n, то система (3.1) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера (3.4). Других возможностей нет, так как ранг расширенной матрицы системы не может быть меньше матрицы системы.

, т.е. имеет ранг, равный 1.

Расширенная матрица системы равный 1, т.е. ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны, но меньше числа неизвестных. Поэтому оставляем одно уравнение системы , из которого находим , т.е. решение данной системы имеет вид , где х принимает произвольные значения, т.е. данная система имеет бесконечно много решений. Ответ: .

Пример 4. Решим систему уравнений , равный 1. Расширенная матрица системы равный 2. Ранги не равны, поэтому система уравнений несовместна, т.е. решения не имеет.

. ранг расширенной матрицы В = 4 = А неизвестных пять. решаем либо по формулам Крамера, либо методом Гаусса, что проще. Воспользуемся методом Гаусса. Наконец, находя из 4-го уравнения системы , получим решение исходной системы , общим решением данной системы уравнений.