Свойства б.М.:

1. Сумма конечного числа б.м. величин также является б.м. величиной

2. Произведение бесконечно малых – б.м.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Билет 5. Алгебраические свойства предела.

Пусть lim f(x)=A (xx0), lim g(x) = B (xx0), C-единственное число, тогда:

1) Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

.

Доказательство: Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно, f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Так как b + c есть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то

.

2) Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Доказательство: Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .

3) Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

.

Доказательство: Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное

.

Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c²≠0.

4. lim (C*f(x)) (xx0) = C*A

5. lim C (xx0) = C

Билет 6. Предельные переходы в неравенствах.

1. Пусть в некоторой проколотой окрестности точки х0 f(x) определена, удовлетворяет неравенству f(x)<=A и существует lim f(x)=f0 (xx0). Тогда f0<=A.

Доказательство:

Д окажем от противного. Пусть существует lim f(x) (xx0) = f0 = A+γ (γ-пол.число). Тогда для любого ε>0 найдётся δ>0 такая, что 0<|x-x0|< δ  |f(x)-f0|<ε.

Возьмём ε = γ/2>0. Тогда, с одной стороны |f(x)-f0|< γ/2 при 0<|x-x0|< D(γ).

С другой стороны |f(x)-f0|>= γ, т.к. f(x)<=A, a f0=A+ γ.

Полученное противоречие доказывает утверждение:

2. Лемма о 2ух милиционерах:

П усть для всех х (- Х выполняется неравенство f(x)<=φ(x)<=g(x) и существует lim f(x) = lim g(x) = A (x (- X). Тогда существует lim φ(x) = A.

3. Обобщение леммы:

Пусть для любого х (- Х f(x)<=φ(x)<=g(x) и существует lim f(x) = А, lim g(x) = B.

При этом, A<=B. Тогда, если существует lim φ(x) = С, то A<=C<=B

4. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной функции:

Пусть f(x) монотонно возрастает (убывает) на [A; +∞). A – некоторое действительное число, f(x)<=M (f(x)>=m) для всех x (-[A; +∞). Тогда существует lim f(x) (x+∞) <= M (lim f(x) (x+∞) >= m). Аналогичные результаты верны для промежутка (-∞; B], где B-некоторое действительное число

5. Теорема о пределе сложной функции:

Пусть y=f(U(x)) – сложная функция. lim U(x) = U₀. lim f(U) (UU₀) = f₀. Тогда lim f(U(x)) = f₀.

Билет 7. Теорема о существовании предела ограниченной монотонной функции.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Теорема: Пусть f(x) монотонно возрастает (убывает) на [A; +∞). A – некоторое действительное число, f(x)<=M (f(x)>=m) для всех x (-[A; +∞). Тогда существует lim f(x) (x+∞) <= M (lim f(x) (x+∞) >= m). Аналогичные результаты верны для промежутка (-∞; B], где B-некоторое действительное число.

Билет 8. Теорема о пределе сложной функции.

Сложная функция: Пусть даны функции f(x): X  Y и g(y): Y  Z. Причём D(g)=E(f). Тогда определена сложная функция φ: X  Z: φ=g(f(x))=gof(x) – композиция, т.е.применяй g, затем применяй f.

Теорема: Пусть y=f(U(x)) – сложная функция. lim U(x) = U₀. lim f(U) (UU₀) = f₀. Тогда lim f(U(x)) = f₀.

Билет 9. Первый замечательный предел.

1ый замечательный предел: это равенство lim sinx/x = 1 (x0)

x~sinx~tgx~arcsinx~arctgx~(e^x-1)~ln(1+x)

1-cosx~x²/2

a^x-1~xlna

Доказательство:

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Т очка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Билет 10. Предел последовательности. Второй замечательный предел для последовательностей и функций.

П оследовательность: Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2, ..., n, ... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x_n, то множество вещественных чисел x₁, x₂, x₃, ..., x_n мы назовем числовой последовательностью или просто последовательностью. Сокращенно последовательность обозначается - {x_n}.

Число А называется пределом последовательности {x_n}, если для любой ε-окрестности точки А найдётся натуральное число N, что все значения x_n, для которых n>N, попадут в ε-окрестность точки А.

2ой замечательный предел. Как известно, предел числовой последовательности

x_n=(1+1/n)ⁿ, n (- N, имеет предел равный e: lim (1+1/n)ⁿ = e (n ∞).

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где  — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.   

Билет 11. Сравнение б.м. Эквивалентные б.м. Таблица основных эквивалентностей. Порядок малости.

Функция α(х) называется бесконечно малой при х  x0 (б.м.), если lim α(х)=0 (xx0).

Если lim α(х)/β(x) = 0 (xx0), то α(х) называется б.м. более высокого порядка чем β(x), и пишут α(х)=oβ(x), xx0.

Если lim α(х)/β(x) = C (xx0, c<∞), то α(х) и β(x) называются б.м. одного порядка малости.

Если lim α(х)/β(x) = 1 (xx0), то α(х) и β(x) называются называются эквивалентными и это обозначается

α(х) ~ β(x) при хx0.

Если существует число k, такое что lim α(х)/(β(x))^k = C ≠ 0, то α(х) называется б.м. порядка k относительно β(x).

Y=F(x) называется бесконечно большой при xx0, если lim F(x)= ∞ (xx0)

Таблица основных эквивалентностей:

Если lim sinx/x = 1 (x0), тогда:

x~sinx~tgx~arcsinx~arctgx~(e^x-1)~ln(1+x)

1-cosx~x²/2

a^x-1~xlna

Билет 12. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Непрерывность суммы, разности, произведения и частного (при условии, что знаменатель не обращается в 0) непрерывных функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций.

Определение. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если: 1) f(x) определена в некоторой окрестности точки х0; 2) Существует lim f(x) (xx0); 3) lim f(x) = f(x0). Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Геометрический смысл. Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Геометрически график непрерывной функции представляет собой непрерывную линию. Легко видеть, что функция непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда односторонние пределы функции в этой точке существуют и равны между собой, а также значению функции в этой точке.