Теорема Коши.

Пусть y=f(x) непрерывна на [a; b] и диф. на (a; b). Аналогично, y=g(x) также непрерывна на [a; b] и диф. на (a; b), но g’(x) ≠ 0 для любого х. Тогда имеет место следующее утверждение: найдётся точка ξ (- (a;b) такая, что (f ‘(b) – f ‘(a))/(f(b) - f(a)) = f ‘(ξ)/g’(ξ)

Теорема Лагранжа. Пусть f(x) непрерывна на [a; b] и диф. на (a; b). Тогда найдётся точка ξ (- (a;b) такая, что f(b) – f(a) = f(ξ)(b-a)

Доказательство:

Возьмём g(x) = x. По теореме Коши найдётся ξ (- (a;b) такая, что (f(b)-f(a)) / (b-a) = f ‘(ξ)

Геометрический смысл:

Билет 23. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

Определение. Пусть функции f(x) и g(x) диф. в некоторой окрестности точки b. Одновременно являются б.м. или б.б. в т. b и пусть существует lim f ‘(x)/g’(x) (xb). Тогда существует lim f(x)/g(x) (xb) = lim f ‘(x)/g’(x).

Доказательство:

Применим к функциям f(x) и g(x) теорему Коши для отрезка [x0; x], лежащего в окрестности точки х0. Тогда f(x)-f(x0)/g(x)-g(x0) = f ‘(c)/g’(c). Учитывая что f(x0) и g(x0) = 0 получаем формулу. И при x x0 величина х в пределе также стремится к х0.

Замечания:

1. Формула верна только справа налево

2. lim f(x)/g(x) ≠ lim (f(x)/g(x))’

3. Предел отношения функции может существовать, даже если не существует предела отношения производных

4. Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей вида 0/0, беск/беск итд.

Билет 24. Монотонность функции на промежутке. Достаточное условие монотонности. Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума. 1-е и 2-е достаточные условия экстремума. Исследование функции на монотонность и экстремум.

Определение. Функция монотонна на промежутке Х, если она возрастает (убывает) на всём промежутке.

Достаточное условие монотонности. Пусть для всех х (- Х f ‘(x)>0 (f’(x)<0). Тогда на Х функция возрастает (убывает)

Доказательство:

x1, x2 (- X, x1<x2. Тогда по теореме Лагранжа найдётся ξ (- (x1; x2) такая, что f(x2)-f(x1) = f ‘(ξ)(x2-x1). x2>x1  f(x2)>f(x1)

Локальные экстремумы. Точка х0 называется точкой максимума функции y=f(x), если существует такая δ-окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство: f(x)<f(x0). Максимум и минимум – точки экстремума. Функция может иметь экстремум лишь во внутр. точках.

Необходимое условие экстремума. Пусть функция y=f(x) диф. на Х и имеет во внутренней точке этого промежутка локальный максимум. Тогда f ‘(x0) = 0.

Доказательство: по теореме Фирма.

1ое достаточное условие экстремума. Пусть х0 – критическая точка функции f(x) и пусть f(x) диф. в некоторой проколотой окрестности Uε точки х0. Пусть далее в этой окрестности f ‘(x) больше 0 при х<x0 и f ‘(x)<0 при х>x0. Тогда х0 – точка локального максимума.

2ое достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) дважды непрерывна, диф. в некоторой окрестности стационарной т. х0, т.е. f ’(x0) = 0. Тогда если f ‘’(x0)>0, x0 – точка локального минимума, а если <0 – максимума.

Исследование функции на монотонность и экстремум.

1. Найти производную f ‘(x) и крит. точки

2. Найти знак производной на всех интервалах D(y), разбив крит. точки и соответствующие промежутки монотонности

3. Найти точки экстремума и значение ф. в этих точках

Билет 25. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: схема нахождения и пример.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [A; B] и диф. на (a; b). Тогда наиб. и наим. значения функции f(x) на [a; b] могут достигаться только в точках локального экстремума или на концах отрезка

Схема нахождения.

1. Находим крит. точки, стационарные точки.

2. Находим значения функции в этих точках и на концах отрезка

3. Выбираем наиб. и наим. значения

Билет 26. Выпуклость, вогнутость функции – геометрическое и аналитическое определения. Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) функции. Достаточное условие перегиба.

Кривая называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если для всех точек этого интервала касательная лежит выше (ниже) точек кривой за исключением точки касания.

Геометрическое определение. Функция называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если на этом интервале её график является выпуклой (вогнутой) кривой.

Аналитическое определение. Функция y=f(x) называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если для любых х1, х2 из этого интервала (х1<x2) выполняется неравенство: f((x1+x2)/2) > (f(x1)+f(x2))/2 (для вогнутой первое выражение с – и <)

Достаточное условие выпуклости. Пусть y=f(x) дважды непрерывна и диф. на (a; b) и f ‘’(x)>0 (f ‘’(x)<0) для любого х из этого интервала. Тогда f(x) вогнута (выпукла) на (a; b)

Перегиб. Точка х0 называется точкой перегиба функции или графика функции y=f(x), если в этой точке график меняет своё направление выпуклости.

Достаточное условие перегиба. Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и дважды непрерывна и диф. в проколотой окрестности этой точки. Пусть в т. f ‘’(x) меняет свой знак. Тогда х0 – точка перегиба f(x).

Доказательство:

Пусть f ‘’(x)<0 слева и f ‘’(x)>0 справа от т. х0. Тогда функция выпукла слева и вогнута справа от т. х0. Тогда х0 – точка перегиба по определению.

Схема исследования функции на выпуклость и перегиб.

1. Находим все точки, подозримые на перегиб, т.е. в которых f ‘’(x) = 0 или не существует

2. Находим знаки второй производной f ‘’(x) на всех интервалах, на которые область определения разбивается точками, подозримыми на перегиб

3. Находим направление выпуклости на этих интерваоах и значения функции в этих точках

Билет 27. Асимптота. Вертикальная, горизонтальная и наклонная асимптоты.

Асимптота. Пусть существует такая прямая, что расстояние до неё от точки М (x; f(x)) графика функции y=f(x) стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность. Тогда прямая называется асимптотой графика функции

Вертикальная. Прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов lim f(x) (xx0-) или lim f(x) (x0+) равен бесконечности.

Горизонтальная. Пусть существует lim f(x) = b (x+∞) < ∞ (lim f(x) = b (x-∞) < ∞). Тогда прямая y=b называется право (лево) сторонней горизонтальной асимптотой.

Наклонная. Если f(x)  ∞ при х +∞ (-∞), то может существовать наклонная асимптота.

Теорема. Если lim f(x)/x (x+∞, x-∞) = k – const<∞ и lim f(x)-kx (x+∞, x-∞) = b –const, то y=kx+b является правосторонней асимптотой (лево-)

Билет 28. Схема исследования функции и построения ее графика.

1. Область определения

2. Чётность, периодичность. Точки пересечения с осями

3. Нахождение точек из области определения, в которых f ‘(x)=0 или не существует

4. Нахождение точек из области определения, в которых f ‘’(x)=0 или не существует

5. Н ахождение экстремумов, перегибов, интервалов возрастания и убывания, выпуклости, вогнутости. Таблица!

6. Асимптоты

7. Построение графика

Билет 29. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Достаточное условие интегрируемости. Свойства неопределенного интеграла.

Первообразная. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), заданной на некотором множестве X, если F’(x)=f(x) для всех х (- X.

Неопределённый интеграл. Если Ф(x) и F(x) – две первообразные для одной и той же функции f(x), то Ф(х)=F(x)+C, где С-произвольная постоянная. Совокупность всех первообразных функции f(x), выражаемая формулой F(x)+C, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx=F(x)+c

Г еометрический смысл.

Теорема 1. Пусть F(x) – первообразная ф. f(x). Тогда любая другая первообразная имеет вид Ф(х)=F(x)+C

Доказательство:

1. Функция Ф(х)=F(x)+C также является первообразной для f(x), т.к. Ф’(x) = (F(x)+C)’=F’(x)=f(x)

2. Пусть F1(x) и F2(x) – первообразные функции f(x). Тогда (F1(x)-F2(x))’=F1’(x)-F2’(x)=0. F1(x)-F2(x)=C

Свойства неопределённого интеграла:

1. (∫f(x)dx)’ = f(x)

Доказательство:

(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=f(x)

2. d(∫f(x)dx) = f(x)dx

Доказательство:

d(∫f(x)dx) = (∫f(x)dx)’*dx = f(x)dx

3. ∫C + f(x)dx = C*∫f(x)dx

Доказательство:

Продифференцируем обе части:

(∫C*f(x)dx)’ = C*f(x)

(C*∫f(x)dx)’ = C*f(x)dx

4. ∫(f(x)+-g(x))dx = ∫f(x)dx +- ∫g(x)dx

5. ∫df(x) = f(x) +C

Билет 30. Таблица неопределенных интегралов.

Билет 31. Непосредственное интегрирование. Формула замены переменной. Метод

интегрирования по частям.

Непосредственное интегрирование. Используются свойства интеграла, а также преобразование подынтегральной функции с помощью алгебраических, тригонометрических формул. Цель интегрирования: получить ответ в виде функции!

Метод замены переменной. Частным случаем этого метода является так называемое подведение под дифференциал. Из инвариантности 1го дифференциала dy=f ‘(x)dx=f ‘(U)dU следует: ∫f(x)dx=∫f(U)dU

Метод интегрирования по частям. Пусть U(x), V(x) непрерывны и диф. на Х. Тогда, на Х: ∫UdV = UV-∫VdU

Доказательство:

d(U(x)*V(x)) = формула = U’(x)dx/dU(x) * V(x) + U(x) * V’(x)dx/V(x)  UdV=dUV-VdU