Признаки сходимости.

1. Признак сравнения. Пусть даны два несобственных интеграла ∫f(x)dx (a; ∞) и ∫g(x)dx (a; ∞), подынтегральные функции которых удовлетворяют неравенству: 0 <= f(x) <=g(x), для всех a <= x <∞. Тогда из сходимости второго интеграла следует сходимость первого, а из расходимости первого – расходимость второго.

Доказательство:

Для всех b (- (a; +∞) интеграл ∫f(x)dx (a; b) <= ∫g(x)dx (a; b). а) Перейдём к пределу при b∞. По теореме о предельных переходах в неравенстве существует предел: lim ∫f(x)dx (a; b) (b∞). Существование этого предела эквивалентно существованию интеграла. б) Аналогично из расходимости 1го интеграла вытекает несуществование пределов ∫f(x)dx (a; b) (b∞) и ∫g(x)dx (a; b) (b∞)

2. Предельный признак сравнения (эквивалентности?). Пусть существует lim f(x)/g(x) (x+∞) = A < +∞. Тогда интегралы f(x) и g(x) сходятся или расходятся одновременно.

3. Признак Дирихле (условной сходимости). Если 1) Функции f(x) и g(x) определены в a <= x <= ∞; 2) f(x) – интегрируема в [a; A] и F(A) – ограниченная функция; 3) g(x) не возрастает и её предел при х∞ равен нулю, то ∫f(x)g(x)dx (a; ∞) сходится

Эталонным называется интеграл, который сходится на одном промежутке, а расходится на другом.

Билет 41. Нахождение площади плоской фигуры.

1. В прямоугольных координатах.

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y = f(x) (f(x) >= 0), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой двумя вертикальными прямым x=a, x=b, осью абцисс, определяется формулой S = ∫f(x)dx

2. В полярных координатах

Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(φ), то площадь сектора AOB, ограниченная дугой кривой и двумя полярными радиусами OA и OB, выразится интегралом S = ½ ∫(ρ(φ))²dφ

3. В параметрической форме.

S = ∫ψ(t)*φ’(t)dt, где x = φ(t), y = ψ(t)

Билет 42. Нахождение объема тела вращения.

a ) Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной уравнением y = y(x), где y(x) - непрерывная однозначная функция на [a; b], осью Ох и прямыми x=a и x=b вычисляется по одной из формул: V_x = П∫f ²(x)dx (a; b) или

V_x = П ∫f ²(x)*x’(y)dy (c; d)

б) Объём тела, образованного вращением вокруг оси Оy криволинейной трапеции,

ограниченной кривой, заданной уравнением x = x(y), где x(y) - непрерывная

однозначная функция на [с; d], осью Оy и прямыми y=c и y=d вычисляется по

одной из формул: V_y = П∫f ²(y)dy (c; d) или V_y = П ∫x²*y’(x)dx

Билет 43. Длина дуги кривой.

a)В прямоугольных координатах.

Пусть на [a; b] y=f(x) диффер.  непрерывна. Тогда существует предел: l = ∫корень из 1+(y’)²dx

б) В параметрической форме.

Пусть дуга задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), x <= t <= β, то длина дуги кривой равна:

l = ∫кор. x’²(t)+y’²(t)dt, (t1; t2) – значения параметра, соответствующие концам дуги

в) В полярной системе

Если кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(φ), φ (- [α; β], то длина дуги кривой

l = ∫корень из ρ²⁽φ)+ ρ’²(φ)dφ (α; β) – значения полярного угла в крайних точках дуги.