Свойства.

1. Пусть f(x) интегрируема на [a; b]. Тогда c f(x) также интегрируемана [a; b]: ∫Cf(x)dx = C∫f(x)dx

2. Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b]. Тогда f(x)+g(x) также интегр. на [a; b]:

∫(f(x)+-g(x))dx = ∫f(x)dx +- ∫g(x)dx

3. ∫(С1f1(x)+C2f2(x)+c3f3(x))dx = C1∫f1(x) + C2∫f2(x) + C3∫f3(x)

4. ∫f(x)dx = -∫f(x)dx, пределы интегрирования меняем местами

5. ∫f(x)dx (a;b) = ∫f(x)dx (a; c) + ∫f(x)dx (c; b) – аддиктивность определённого интеграла

6. ∫|f(x)dx| <= ∫|f(x)|dx

7. Если f(x) <= g(x), и для всех х (- [a; b], f(x), g(x) – интегрируемы, то верно неравенство: ∫f(x)dx <= ∫g(x)dx – интегрирование неравенств

8. Пусть функция f(x) интегрируема на [a; b] и m <= f(x) <= M, x(-[a; b]. Тогда m(b-a) <= ∫f(x)dx <= M(b-a) – оценка интеграла

Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [a; b], то для всех ξ (- [a; b] верно неравенство:

f(ξ) = ∫f(x)dx / (b-a)

Билет 36. Геометрический смысл. Основные классы интегрируемых функций.

Геометрический смысл. Для простоты возьмём f(x) > 0, непр. на [a; b]. Интеграл предста

вляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

y = 0, x = a, x = b, y = f(x)

Отрезок AB разобьём на n частичных отрезков (точками x1, x2 итд). В каждом отрезке берём произвольную точку ξ. Сумма всех произведений f(ξ1)*∆x1 + итд. будет равна площади ступенчатой фигуры и приближённо равна S. С уменьшением всех величин х, точность полученной формулы увеличивается.

Sabcd = ∫f(x)dx, если интеграл определён.

Классы интегрируемых функций .

1.Непрерывные функции.

Теорема 1. Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция интегрируема на этом отрезке.

2.Монотонные ограниченные функции и некоторые другие классы интегрируемых функций.

Теорема 2. Любая монотонная ограниченная функция является интегрируемой функцией.

Теорема 3. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число разрывов интегрируема.

Билет 37. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Формула замены переменной. Пусть х = φ(t) непрерывна и диф. на T = {α; β}. Функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] = [x(α); x(β)]. Тогда ∫f(x)dx (a; b) = ∫f(φ(t))*φ’(t)dt (α; β)

Интегрирование по частям. Пусть U(x) и V(x) непрерывны и диф. на отрезке [a; b]. Тогда имеет место формула: ∫UdV = UV|_a^b - ∫VdU

Доказательство: такое же как в неопр. интеграле

Билет 38. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл с переменным верхним пределом. Если функция f(x) непрерывна на [a; b], то для всех х (- [a; b] определена функция Ф(х) = ∫f(t)dt (a; x), которая называется интегралом с переменным верхним пределом. На интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла.

Теорема. Если f(x) непрерывна на [a; b], то Ф’(x) = (∫f(t)dt)’ (a; x) = f(x), для всех х (- [a; b]

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть f(x) непрерывна на [a; b], F(x) – какая либо первообразная для неё, тогда:

∫f(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) – F(a)

Билет 39. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Сходящиеся и расходящиеся интегралы. Геометрический смысл.

Определение. При введении понятия определённого интеграла предполагали следующие условия: а) отрезок интегрирования [a; b] является конечным; б) подынтегральная функция f(x) – ограничена на отрезке интегрирования. В этом случае интеграл называется собственным. Если хотя бы одно из указанных условий нарушается, то интеграл называется несобственным, т.е. ∫f(x)dx называется несобственным, если а=-∞ или b=+∞ (или невзаимоискл.)

Сходимость / расходимость. Пусть f(x) определена и непрерывна на [a; b] (b>a). Обозначим I(b) = ∫f(x)dx, фиксируя нижний предел а. Функцию I(b) рассмотрим как интеграл с переменным верхним пределом.

1. ∫f(x)dx (a; +∞) = lim ∫f(x)dx (a;b) (b+∞) – несобственный интеграл 1 рода на [a; +∞). Если предел в правой части существует и конечен, тогда несобственный интеграл сходится. В противном случае расходится.

2. ∫f(x)dx (-∞; b) = lim ∫f(x)dx (a;b) (a-∞)

3. ∫f(x)dx (-∞; ∞) = ∫f(x)dx (-∞; c) + ∫f(x)dx (c; +∞) = пределы

Г еометрический смысл. Пусть f(x)>0. Несобственный интеграл определяет площадь под кривой в соотв. пред., в данном случае [a; + ∞)

Несобственный интеграл 2го рода. Пусть функция f(x) задана на [a; b), не ограничена при

xb и для любого ε>0 найдётся ∫f(x)dx (a; b-ε). Несобственным интегралом 2го рода от функции

f(x) называется lim ∫f(x)dx (a; b-ε) (ε0+) = ∫f(x)dx (a; b)

Геометрический смысл: также только площадь под графиком.

Билет 40. Свойства несобственных интегралов. Признаки сходимости. Эталонные ряды.

Свойства. 1) Если сходится несобственный интеграл ∫f(x)dx (a; ∞), то найдётся такая b>a, что несобственный интеграл будет сходится и ∫f(x)dx (a; ∞) = ∫f(x)dx (b; a) + ∫f(x)dx (b; ∞)

2)Если сходятся интегралы ∫f(x)dx (a; ∞) и ∫g(x)dx (a; ∞), то сходятся и интегралы ∫(αf(x)+-βg(x))dx (a; ∞), где α и β=const и <M.