Теорема о действиях с непрерывной функцией:

Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке х0.

1. f(x)+-g(x)

2. f(x)*g(x)

3. f(x)/g(x), если g(x0) ≠ 0

Доказательство:

lim (f(x)+-g(x)) (xx0) = lim f(x) +- lim g(x) = f(x0) +- g(x0)

Непрерывность сложной функции. Пусть f(x) – непрерывная в т. х0, а g(t) в т. t0=f(x0). Тогда функция g(f(x)) непрерывна в точке х0. Доказательство вытекает из теоремы о пределе сложной функции.

Непрерывность элементарных функций. Все основные элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Билет 13. Точки разрыва и их классификация. Исследование функции на непрерывность.

Определение. Точки, в которых предел функции не существует или существует, но не равен значению функции в этой точке называются точками разрыва.

Устранимый разрыв (1ый род). Пусть существуют lim f(x) (xx0-) и lim f(x) (x x0+); они равны друг другу, но не равны значению функции в данной точке. Тогда x0 – устранимая точка разрыва

Разрыв типа скачок (1ый род). Пусть существуют конечные односторонние пределы функции f(x) в точке х0, не равные друг другу. Тогда х0 – точка разрыва 1го рода типа скачок

Разрыв второго рода. Пусть в точке х0 хотя бы один из односторонних пределов функции не существует или равен бесконечности. Тогда х0 – точка разрыва 2го рода.

Билет 14. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Теорема 1. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда найдутся х1, х2 (- [a;b] такие, что для всех х (- [a;b] выполняется неравенство: m = f(x1) <= f(x) <= f(x2) = M. То есть непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и наибольшего M.

Следствие: непрерывная на отрезке функция ограничена на нём.

Теорема 2. Пусть f(x) (- C[a;b] и f(a)*f(b)<0 (т.е. на концах отрезка функция имеет разные знаки). Тогда найдётся такое x0 (- (a;b), что f(x0) = 0.

Теорема 3. Пусть f(x) (- C[a;b] и f(a) ≠ f(b). Тогда для любого y* (- [f(a); f(b)], если f(а) < f(b) или y* (- [f(b); f(a)], если f(b) < f(a) найдётся x* (- [a;b]: f(x*)=y*, т.е. если на концах отрезка функция принимает не равнее друг другу значения, тогда она принимает и все промежуточные между этими значения.

Теорема 4. Пусть f(x) (- C[a;b] и m-наименьшее, а M-наибольшее значения функции f(x) на [a;b]. Тогда для любого у* (- [m; M] найдётся х* (- [a; b] такое, что f(x*)=y*, т.е. непрерывная на отрезке функция не только принимает наибольшее и наименьшее значения, но и пробегает все промежуточные.

Для монотонной непрерывной функции всегда найдётся обратная!

Рисунки

Билет 15. Задача о нахождении мгновенной скорости. Производная функции в точке. Геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Задача. Пусть материальная точка M движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определённое расстояние OS=M до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истёкшего времени t, т.е. t=S(t). Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

Е сли в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени t+∆t (∆t – приращение времени) точка займёт положение М1, где ОМ1=S+∆S. Таким образом, перемещение точки М за время ∆t будет ∆S=S(t+∆t)-S(t). Отношение ∆S/∆t выражает среднюю скорость движения точки за время ∆t (Vср=∆S/∆t). Чем меньше ∆t тем точнее средняя скорость выражает мгновенную. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени ∆t называется мгновенной скоростью: V=lim ∆S/∆t (∆t0)

Определение. Предел отношения приращения функции y=f(x) к приращению аргумента

при x=x0 называется производной функции y=f(x) в точке х0, если он существует и

конечен. f ‘x при х=х0 = lim ∆f(x)/ ∆x (∆x0) = lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) (xx0)

Обозначение. y’, y’(x), f ‘(x), dy/dx итд.

Геометрический смысл. Если к графику функции y=f(x) в точке с абциссой x=a можно

провести касательную, непараллельную оси y, то f’(a) выражает угловой коэффициент

касательной. k=f ‘(a), f ‘(a)=tgα

Касательная. Прямая называется касательной к графику функции y=f(x) в т. х0=(x0; f(x0)), если: 1) Прямая пересекается с графиком функции в точке х0; 2) В некоторой окрестности этой точки нет других пересечений; 3) Для всех х из этой окрестности график лежит по одну сторону от касательной. y=y0+f ‘(x0)(x-x0)

Нормаль. Нормалью к графику функции y=f(x) в точке х0 называется прямая перпендикулярная касательной к графику функции в этой точке. k_норм = -1/k_кас = -1/f ‘(x0)  y = -1/f ‘(x0)*(x-x0)+y0

Билет 16. Дифференцируемость функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции. Логарифмическая производная.

Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если она имеет (конечную) производную в этой точке.

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки х0 её приращение имело вид: ∆y=A*∆x+α(x)*∆x, где А-конечное число, α(х)-б.м. в т. х0

Доказательство:

α(х)-б.м. в т. х0  lim α(х)=0

1. Необходимость.

Пусть y=f(x) – диф. в т. х0, т.е. существует конечный lim ∆y/∆x = f ‘(x0). Обозначим f ‘(x0) = А < ∞. Рассмотрим функцию α(х) = -А+∆y/∆x. Тогда lim ∆y/∆x = lim (-A+ α(х)) = -A + lim ∆y/∆x = -A+A = 0. Следовательно α(х) – б.м. в точке х0.

2. Достаточность

Пусть в некоторой окрестности точки х0 ∆y = A*∆x + α(х)*∆x. lim ∆y/∆x = lim (A+ α(х)) = A+0 = А (существует и конечен). Т.е. функция диф. в т. х0.

Утверждение данной теоремы означает, что главной частью приращения диф. ф. является линейная часть. Нелинейная часть имеет более высокий порядок малости.

Связь непрерывности и дифференцируемости функции. Если y=f(x) – дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

f(x) – диф. в т. х0  по теореме 1 ^ её приращение ∆y=A*∆x+α(x)*∆x. Тогда при ∆x0 получаем ∆y0. Т.е. f(x)f(x0) при xx0, а это означает что функция непрерывна lim f(x) = lim f(x0)

Логарифмическая производная. Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функции, например сложнопоказательных.

(log_ax)’=1/(x*lna)

(lnx)’=1/x

Билет 17. Правила дифференцирования. Производная суммы, произведения, частного дифференцируемых функций. Производная обратной функции. Производная сложной функции.

1. (U(x)+-V(x)) = U’(x)+-V’(x)

Доказательство:

Пусть ∆x0. ∆(U+V)= ∆U+∆Vlim ∆(U+V)/ ∆x (∆x0) = lim (∆U+∆V)/∆x = lim ∆U/∆x + lim ∆V/∆x = U’ + V’

2. (U(x)*V(x))’=U’(x)*V(x)+U(x)*V’(x)

Доказательство:

Пусть ∆x0. ∆(U*V) = (U+∆U)(V+∆V)-UV = UV+U∆V+V∆U+∆U∆V-UV;

(UV)’ = lim ∆(UV)/ ∆x = lim (U∆V+V∆U+∆U∆V)/∆x = сумма лимитов = V*lim ∆U/∆x + U*lim ∆U/∆x + lim ∆U/∆x * lim ∆V (∆xбеск.) = VU’+UV’+U’*0.

3. (U(x)/V(x))’ = (U’(x)*V(x) – U(x)*V’(x))/V²(x)

Производная обратной функции. Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки х0, f ‘(x0) ≠ 0. Пусть также в некоторой окрестности точки y0=f(x0) определена и дифференцируема обратная функция x=g(y) (x=f^-1(y)). Тогда производная обратной функции в точке у0 находится по формуле: x’(y0) = 1/f ’(x0) или g(y0)=1/f(x0), g-обр. f.

Доказательство:

g’(x) = lim ∆x/∆y (∆y0) = lim 1/(∆y/∆x) = 1/lim ∆y/∆x (∆x0) = 1/f(x0)

Производная сложной функции. Пусть функция x=φ(t) диф. в т. t0 и функция y=f(x) диф. в точке x0=φ(t0). Тогда сложная функция y(φ(t)) диф. в точке t0: y_t’(t0) = f_x’(x0)* φ_t(t0)

Доказательство:

y’(t0) = lim (∆y(φ(t)))/∆t (tt0) = lim (∆y*∆x)/( ∆x*∆t) = lim ∆y/∆x * lim ∆x/∆t = y_x’(x0) * x_t(t0)

Билет 18. Таблица производных. Вывод производных логарифмической, показательной, степенной и основных тригонометрических функций (sin x, tg x).

(C)’ = 0

(x)’ = 1

(kx+b)’ = k

(x²)’ = 2x

(xⁿ)’ = n*x^n-1

(кор. x)’ = 1/(2кор.x)

(1/x)’ = - 1/x²

(sinx)’ = cosx

sinα-sinβ = 2sin((α-β)/2)*cos((α+β)/2)

y’=lim (sin(x+∆x)-sinx)/∆x (∆x0) = lim (2sin(∆x/2)*cos((x+∆x)/2))/2*∆x/2 = cosx

(cosx)’ = -sinx

(tgx)’ = 1/cos²x

по правиду дифференцирования (деление)

(ctgx)’ = - 1/sin²x

(log_ax)’ = 1/(x*lna)

y’ = lim (log_a(x+∆x)-log_ax)/∆x (∆x0) = lim (log_ax+∆x/x)/∆x = lim loga (1+ ∆x/x)/x*∆x/x = 1/x lim loga (1+∆x/x)^x/∆x = 1/x ln_ae = результат

(lnx)’ = 1/x

(e^x)’ = e^x

(a^x)’ = a^x*lna

y=a^x и x=log_ay – взаимообр. y_x’ = 1/x_y’, т.е. (a^x)’ = 1/(1/y*lna) = a^x*lna

(кор. х n-ой ст.)’ = 1/(n*кор х n-ой ст. из x^n-1)

(|x|)' = x/|x|

(arcsinx)’ = 1/кор. из 1-x²

(arccosx)’ = -1/кор. из 1-x²

(arctg)’ = 1/(1+x²)

(arcctg)’ = -1/(1+x²)

(1/x^c)’ = - c/x^c+1

Билет 19. Производные функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков.

Неявно. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y)=0 (1) неразрешённого относительно у. Производная неявно заданной функции находится путём дифференцирования по х обеих частей выражения 1. Затем y’ выражаем через у и х.

Параметрически. Пусть зависимость между аргументом и функцией задана параметрически в виде 2 уравнений в системе: 1) x=x(t); 2) y=y(t), где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. Найдём производную y_x’: t_x’=1/x_t’ (обратная функция). Функцию y=f(x) можно рассматривать как сложную функцию y=y(t), где t=φ(x). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: y_x’=y_t’*t_x’. В итоге получаем: y_x’=y_t’*1/x_t’, т.е. y_x’=y_t’/x_t’

Производные высших порядков. Производной 2го порядка называется производная от первой производной, если обе производные существуют. Производной n-ого порядка от функции y=f(x) называется производная от n-1 производной, если существуют все производные от 1го до n-го порядка включительно. y’’, yⁿ

Билет 20. Дифференциал. Его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке х0 называется главная линейная часть приращения функции в точке х0 и обозначается dy = f ‘(x0)dx = f ‘(x0)∆x

Инвариантность формы первого дифференциала. Пишем определение. Пусть x=U(t); dx=U’(t)dt. Рассмотрим сложную функцию y=f(U(t)) и возьмём производную dy/dt f_u’U * U_t’  dy = f ’(U)*U ’(t)dt =

= f ‘(U)*dU

Г еометрический смысл. Дифференциал функции y=f(x) в точке х0 есть приращение ординаты касательной, проведённой к графику функции в точке M0(x0; y0), при приращении аргумента, равном ∆x. При ∆x0 имеем ∆y≈dy, откуда получаем формулу приближённого вычисления значения функции в точке:

f(x0+∆x) ≈ f(x0)+f ‘(x0) ∆x или f(x) ≈ f(0)+f ‘(0)x

Примеры.

Билет 21. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

Неявно. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y)=0 (1) неразрешённого относительно у. Производная неявно заданной функции находится путём дифференцирования пох обеих частей выражение 1. Затем y’ выражаем через у и х.

Параметрически. Пусть зависимость между аргументом и функцией задана параметрически в виде 2 уравнений в системе: 1) x=x(t); 2) y=y(t), где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. Найдём производную y_x’: t_x’=1/x_t’ (обратная функция). Функцию y=f(x) можно рассматривать как сложную функцию y=y(t), где t=φ(x). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: y_x’=y_t’*t_x’. В итоге получаем: y_x’=y_t’*1/x_t’, т.е. y_x’=y_t’/x_t’

Билет 22. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и Коши. Геометрический смысл.

Точка х0 называется точкой локального минимума (максимума) ф. y=f(x), если для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x)>=f(x0) (f(x)<=f(x0)). Максимум и минимум называются экстремумами функции.

Т еорема Ферма. Пусть y=f(x) непрерывна на [a;b] и диф. на (a;b) и пусть точка х0 из (a; b) – точка локального максимума функции f(x). Тогда f ’(x0) = 0.

Геометрический смысл:

В точках локального экстремума касательная к графику функции параллельна оси Ох.

Теорема Роля. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке АВ и диф. во всех внутренних

точках (a; b) и f(a)=f(b). Тогда найдётся хотя бы 1 точка из этого интервала, что f ’(x0)=0.

Доказательство:

По свойству функции непрерывной на отрезке найдутся точки х1 и х2 такие, что m=f(x1)<=f(x)<=f(x2)=M для всех х из этого отрезка. Пусть обе точки попадают на концы отрезка x (- [a; b]. x1=a, x2=b  f(a)=f(b)=f(x). Тогда m=M и f(x)=m=M=const для любого х (- [a; b]. Пусть хотя бы 1 из точек x1, x2 попадает внутрь отрезка. Тогда по теореме Фирма производная в этой точке равна 0.