2.2.3. Последовательность синтеза пф (рф) по характеристическим параметрам

На рисунках 7 а, б и 8 а, б приведены графики требований к ослаблению и простейшие Г-образные звенья, соответственно, для полосового и режекторного фильтров.

Рис. 7

Рис. 8

Синтез ПФ и РФ рекомендуется проводить, используя расчеты фильтров-прототипов с такой же полосой пропускания и задерживания. Для ПФ прототипом является фильтр нижних частот, а для РФ – фильтр верхних частот. Методика синтеза следующая:

а) на первом этапе синтеза применяется частотное преобразование, при котором графические требования к ослаблению ПФ пересчитываются в требования к ослаблению ФНЧ, а графические требования к ослаблению РФ пересчитываются в требования к ослаблению ФВЧ:

, (38)

; (39)

б) по рассмотренной ранее методике синтеза ФНЧ и ФВЧ (пункты а–е п. 2.2.2) разрабатывается схема электрическая, эквивалентная ФНЧ, для синтеза ПФ, или ФВЧ – для синтеза РФ. Для ФНЧ или ФВЧ строятся графики ослабления и коэффициента передачи по напряжению;

в) схема ФНЧ преобразуется в схему полосового фильтра преобразованием продольных ветвей в последовательные колебательные контуры и поперечных ветвей в параллельные колебательные контуры за счет подключения добавочных реактивных элементов. Схема ФВЧ преобразуется в схему режекторного фильтра преобразованием продольных ветвей в параллельные колебательные контуры и поперечных ветвей в последовательные колебательные контуры за счет подключения добавочных реактивных элементов. Добавочные реактивные элементы для каждой ветви ФНЧ (ФВЧ) определяют по значению заданной средней частоты полосового или режекторного фильтра ( ) и рассчитанным значениям реактивных элементов ветвей ФНЧ (ФВЧ), используя известное выражение для резонансных контуров:

; (40)

г) для схем ПФ или РФ разрабатываются или выбираются по справочникам радиоэлементов конденсаторы и катушки индуктивности по той же методике, которая рассматривалась ранее в п. 2.2.2 (пункт ж) данных методических указаний;

д) графики ослабления и коэффициента передачи по напряжению ФНЧ (ФВЧ) пересчитываются в графики ПФ (РФ) в соответствии с соотношениями между частотами этих фильтров. Например, для преобразования графиков ФНЧ к ПФ:

, (41)

, (42)

где – частоты, соответственно, выше и ниже средней частоты полосового фильтра. По этим же формулам пересчитываются графики фильтра верхних частот в графики режекторного фильтра.

2.3. Методика синтеза фильтров по рабочим параметрам

2.3.1. Основные принципы синтеза по рабочим параметрам (полиномиального синтеза)

В данном методе синтеза так же, как и при синтезе по характеристическим параметрам, задаются требования к типу проектируемого фильтра, активному сопротивлению нагрузки, ослаблению или коэффициенту передачи мощности в полосе пропускания и задерживания. Однако учитывается, что входное и выходное сопротивления фильтра изменяются в полосе пропускания. В этой связи, фильтр синтезируется в несогласованном режиме, то есть по рабочим параметрам, что в исходных данных отражается требованием . Метод основан на обязательном расчете для любых типов фильтров низкочастотного фильтра – прототипа (фильтра нижних частот). В расчетах используется нормирование ( ) и частотные преобразования.

Эквивалентная схема фильтра разрабатывается не из отдельных одинаковых звеньев, а сразу полностью, обычно в виде схемы цепочной структуры. На рисунке 9 показан вид П-образной цепочной схемы фильтра нижних частот, а на рисунке 10 – вид Т-образной схемы такого же фильтра с ненормированными элементами.

Рис. 9

Рис. 10

Основные этапы расчетов, на которых основан данный синтез, следующие:

а) аппроксимация – замена графических требований к коэффициенту передачи мощности аналитическим выражением, например отношением полиномов по степеням , что соответствует формулам частотных характеристик реальных реактивных фильтров;

б) переход к операторной форме записи частотных характеристик (замена переменной на переменную в аналитическом выражении, аппроксимирующем коэффициент передачи мощности);

в) переход к выражению для входного сопротивления фильтра, используя взаимосвязь коэффициента передачи мощности, коэффициента отражения и входного сопротивления фильтра:

, (43)

. (44)

В выражении (44) применяется лишь один коэффициент отражения , который соответствует устойчивой электрической цепи (полюса этого коэффициента не имеют положительной действительной части);

г) разложение аналитического выражения для входного сопротивления, полученного из (44), на сумму дробей или в цепную дробь для получения эквивалентной схемы и значений элементов.

Полиномиальный синтез в практических разработках обычно проводится с использованием справочников по фильтрам, в которых выполнены расчеты для данного метода синтеза. В справочниках приведены аппроксимирующие функции, эквивалентные схемы и нормированные элементы фильтров нижних частот. В большинстве случаев в качестве аппроксимирующих функций применяются полиномы Баттерворта и Чебышева.

Ослабление фильтра нижних частот с аппроксимирующей функцией Баттерворта описывается выражением:

, (45)

где – порядок фильтра (положительное целое число, численно равное количеству реактивных элементов в эквивалентной схеме фильтра).

Порядок фильтра определяется выражением

. (46)

В таблицах 1, 2 приведены значения нормированных реактивных элементов при аппроксимации Баттерворта, рассчитанные для разных порядков фильтра нижних частот (для схем, аналогичных схемам на рисунках 9, 10).

Таблица 1

Значения нормированных элементов ФНЧ Баттерворта П-образной схемы

1	2
2	1,414	1,414
3	1	2	1
4	0,765	1,848	1,848	0,765
5	0,618	1,618	2	1,618	0,618
6	0,518	1,414	1,932	1,932	1,414	0,518
7	0,445	1,242	1,802	2	1,802	1,242	0,445

Таблица 2

Значения нормированных элементов ФНЧ Баттерворта Т-образной схемы

1	2
2	1,414	1,414
3	1	2	1
4	0,765	1,848	1,848	0,765
5	0,618	1,618	2	1,618	0,618
6	0,518	1,414	1,932	1,932	1,414	0,518
7	0,445	1,242	1,802	2	1,802	1,242	0,445

При синтезе следует учитывать, что для аппроксимации Баттерворта ослабление на границе полосы пропускания обязательно равно 3 дБ.

Ослабление фильтра нижних частот с аппроксимирующей функцией Чебышева описывается выражением

, (47)

где – коэффициент неравномерности, величина которого зависит от значения неравномерности ослабления в полосе пропускания

. (48)

Для полосы задерживания существуют более простые варианты записи ослабления ФНЧ с аппроксимацией Чебышева, например:

. (49)

По формуле (49) проще определить требуемый порядок фильтра:

. (50)

При аппроксимации Чебышева значения нормированных элементов для электрических схем, показанных на рисунках 9, 10, различаются при разной неравномерности в полосе пропускания, даже при неизменном порядке фильтра. В таблицах 3, 4 приведены рассчитанные нормированные элементы для таких схем ФНЧ, но лишь для одного варианта – для неравномерности в полосе пропускания , при .

Таблица 3

Значения нормированных элементов ФНЧ Чебышева П-образной схемы

1	0,4668
3	1,3034	1,1463	1,3034
5	1,3824	1,3264	2,2091	1,3264	1,3824
7	1,4468	1,3560	2,3476	1,4689	2,3476	1,3560	1,4468

Таблица 4

Значения нормированных элементов ФНЧ Чебышева Т-образной схемы

1	0,4668
3	1,3034	1,1463	1,3034
5	1,3824	1,3264	2,2091	1,3264	1,3824
7	1,4468	1,3560	2,3476	1,4689	2,3476	1,3560	1,4468

Больше информации можно получить из справочников по синтезу ФНЧ [4], где приводятся не только значения нормированных элементов для разных соотношений сопротивлений внешних цепей, но также коэффициенты и полюса аппроксимирующих полиномов.