5.3. Стохастическая модель выбора оптимальной производственной программы
Все рассмотренные выше задачи относились к детерминированным задачам принятия решений, то есть к задачам в которых , и были достоверно известны до решения задач. Существует класс задач, в которых эти параметры описываются случайными векторами. В этом случае соответствующие ММ относятся к классу стохастических задач. Рассмотрим одну из таких задач.
Рассмотренная выше классическая модель выбора оптимальной программы:
; (5.10)
,
; (5.11)
,
(5.12)
относится к классу
детерминированных моделей, так как
предполагалось, что все параметры
,
и
не случайные величины. В реальности за
счет нестабильности в экономике и
действия в производственных процессах
всевозможных факторов эти параметры
могут рассматриваться как случайные
величины. В этом случае оптимальный
выбор производственной программы
необходимо осуществить с помощью
стохастических моделей.
Рассмотрим случаи, когда прибыль от реализации единицы продукции, запасы сырья и материалов являются случайными величинами.
Пусть значения
прибыли от реализации j-й
продукции
являются случайными величинами. В этом
случае суммарная прибыль от реализации
продукции:
. (5.13)
Максимизировать это выражение нельзя, так как в этом случае компоненты вектора решения х будут являться случайными величинами. Отметим, что при использовании любых стохастических моделей обязательно получение детерминированных компонент , учитывающих тот факт, что в задаче имеются случайные параметры. Будем считать, что из обработанной статистики нам известны математические ожидания и дисперсии случайных величин.
,
,
.
Тогда критерий максимума средней прибыли записывается так:
. (5.14)
Здесь было использовано выражение (5.13), в котором все случайные величины были заменены их математическими ожиданиями (свойство линейной комбинации случайных величин). Теперь вид ММ определяют выражения (5.14), (5.11), (5.12).
Можно сформулировать
задачу выбора оптимального вектора
,
обеспечивающего минимальную дисперсию
суммарной прибыли (5.13). Для этого
используем следующее правило теории
вероятности. Пусть случайная величина
вычисляется на основе коррелированных
случайных величин
как сумма линейной комбинации
,
где
–
неслучайные константы.
Тогда дисперсия случайной величины вычисляется так:
,
где
–
дисперсия случайной величины Yj.
Применим это правило к выражению (5.13), где роль неслучайных параметров играют компоненты вектора , получаем:
(5.15)
Таким образом, при случайных значениях прибыли можно решать двухкритериальную задачу (5.15), (5.14), (5.11), (5.12), обеспечивающую максимум средней прибыли и минимум ее дисперсии.
Рассмотрим случай,
когда случайным является объем ресурсов
входящих в условие (5.11). Пусть
– случайные величины, описывающие эти
объемы.
В этом случае условие (5.11) становится
случайным неравенством вида:
,
. (5.16)
Будем считать, что каждая случайная величина описывается ее функцией распределения:
,
. (5.17)
Потребуем, чтобы неравенство (5.16) выполнялись с вероятностью близкой к единице. Это требование можно записать в виде
,
(5.18)
–
достаточно малая
величина, которая в практических задачах
принимает значения 0,01; 0,05; 0,1. Из выражения
(5.17) следует, что вероятность
. (5.19)
С учетом этого левую часть выражения (5.18) представим в виде
.
Подставим полученное выражение в неравенство (5.18), получим
.
Приводя подобные члены и изменяя вид неравенств, получаем:
,
. (5.20)
Таким образом, выражения (5.10), (5.20), (5.12) представляют собой стохастическую однокритериальную модель оптимальной производственной программы при случайной доступности ресурсов.
Рассмотрим пример,
когда все случайные величины
распределены по равномерному закону в
соответствующих интервалах (рис. 5.3).
Рис. 5.3
С учетом этого неравенство (5.18) примет вид:
Проведя преобразования, имеем:
Эти линейные неравенства заменяют неравенства вида (5.16) в конкретных задачах ПР.
Построим конкретный
вид неравенства (5.16) для случая, когда
случайная величина
распределена по показательному закону
с функцией распределения вида:
.
Согласно (5.20)
.
Перенесем «единицу» в правую часть и
прологарифмируем обе части неравенства,
получим:
.
Отсюда:
.