3. Общая математическая модель формирования оптимальных решений
В основу формального подхода ПР полагается применение ММ, методов и соответствующих алгоритмов.
Рассмотрим общие понятия ММ процесса или явления и классификацию ММ.
Математической моделью исследуемого процесса называется запись процесса на формальном языке с целью получения нового знания о процессе (формальными математическими методами).
Например, Модель
движения твердого тела массой
под действием силы
(2-й закон Ньютона);
.
Модель измерения электрических параметров
в проводнике (Закон Ома);
.
Математические модели применяются в тех случаях, когда экспериментальное исследование проводить невозможно или это требует значительных финансовых или материальных затрат.
Еще одним важным применением ММ является их использование в качестве инструмента для анализа и синтеза несуществующих объектов и процессов.
Практика применения ММ в различных областях науки и техники сформировала следующие основные требования:
1) Простота и наглядность модели.
Для того чтобы данная модель могла быть реализована на существующей вычислительной технике за приемлемое время.
Для ее верификации, то есть исключения ошибок. Это требование реализуется при построении ММ включением только существенных факторов, влияющих на рассматриваемый процесс.
2) Достаточная сложность модели. Это требование необходимо для того, чтобы при использовании ММ получались не тривиальные результаты.
3) Требуемая адекватность модели изучаемого процесса. Необходимо, чтобы результаты ММ соответствовали бы практическим (экспериментальным) результатам с определенной заданной точностью.
Рассмотрим общую
ММ задач ПР. В качестве решения будем
рассматривать
-мерный
вектор
,
определяющий количественные характеристики
формируемого решения. Обозначим через
a,
b
и c
вектора соответствующих размерностей,
которые описывают количественные
характеристики неуправляемых факторов,
то есть таких факторов, на которые в
процессе принятия решения ЛПР не может
повлиять.
Для оценки
эффективности различных вариантов
решения будем использовать специальную
функцию вида
,
которую будем называть целевой
функцией задачи или критерием оптимальности
решения. Тогда выбор оптимального
решения
будем осуществлять согласно следующим
требованиям:
,
где
– множество допустимых решений задачи.
Это множество
определяется условиями ПР и обычно
задается системой неравенств и равенств,
связывающих вектора
,
и
:
,
где
– вектор-функция своих аргументов.
Будем использовать стандартную форму записи ММ формирования оптимального решения:
; (3.1)
; (3.2)
. (3.3)
Построение ММ
(3.1) - (3.3) состоит в выборе или формировании
функций
,
а также в указании знаков отношений
между левой и правой частью уравнения
(3.2).
В практике построения таких ММ используют два подхода:
1) Функции
,
конкретизируются на основе результатов
фундаментальных и прикладных наук.
2)
Зависимости
и
строятся путем непосредственного
вывода.
Таким образом, постановка задачи формирования оптимального решения конкретизируется следующим образом: Найти значения элементов вектора , доставляющие максимум критерию оптимальности (3.1) и удовлетворяющие условиям (3.2) и (3.3).