- •1.Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.
- •2. Определение событий. Виды событий. Действия над событиями.
- •3. Классическое определение вероятности.
- •4. Относительная частота. Устойчивость относительн. Частоты.
- •5.Статистическая вероятность
- •6.Геометрическая вероятность
- •7.Вычисление вероятностей с использованием комбинаторных схем
- •8.Понятие об алгебре событий
- •9.Аксиомы Колмогорова
- •10.Понятие вероятностного пространства
- •11.Теорема сложения вероятностей для несовместноых и совместн. Событий
- •12.Теорема сложения вер. Для совместн. Событий
- •13.Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •14.Независимые события. Теорема умножения для независим. Событий.
- •15.Вероятность появления хотя бы одного события
- •16.Формула полной вероятности
- •17.Формула Байеса
- •18.Формула Бернулли
- •19.Наивероятнейшее число появления событ. В последовательности независим. Испытаний
- •21.Функция Лапласа. Интегральная функц. Лапласа. Их применение для решения задач в условиях повторения испытаний.
- •20.Формула Пуассона
- •22.Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывн. Случайн. Величины.
- •23.Ряд распределения дискретн. Случ. Величины
- •24.Функция распредел. Св и ее св-ва
- •25. Плотность распределения вероятностей непрерывн. Св и ее св-ва.
- •29. Мода, медиана, ассиметрия, эксцесс.
- •30.Начальные и центральные моменты случайных величин.
- •31. Биномиальный закон распределения.
- •32. Гипергеометрическое распределение.
- •33. Закон Пуассона
- •38. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента.
- •39. Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону.
- •40. Закон распределения функции двух св.
- •42. Неравенство Чебышева.
- •44. Понятие центральной предельной теоремы.
- •46. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение.
- •47. Вариационный ряд, его хар-ки. Гистограмма. Полигон.
- •48. Эмпирическая функция распределения и ее св-ва.
- •49. Числовые хар-ки выборочного распределения: выборочное среднее, выборочная дисперсия, медиана, ассиметрия, эксцесс, выборочные моменты.
- •50. Понятие оценки параметра. Св-ва оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность.
- •51. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал.
- •53. Описание гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы.
- •54. Критерии проверки статистических гипотез.
- •55. Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.
9.Аксиомы Колмогорова
Числовая функция Р, определенная на классе событий F называется вероятностью, если выполняются следующ. условия: Аксиома 1. F является алгеброй событий; Аксиома 2. Р(А)0 для любого АF; Аксиома 3. Р()=1; Аксиома 4. Если А,В – несовместные события, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Для решения задач, связанных с бесконечн. последовательностями событий, требуется дополнить приведен. аксиомы следующ. аксиомой непрерывности: Аксиома 5. Для любой убывающей последоват-и событий из F такой, что произведение этих событий есть невозможн. событие, справедливо равенство: lim(при x→∞) P(An)=0, т.е. А1 А2 … Аn …Ai F, ;
Эти аксиомы называются аксиомами Колмогорова.
10.Понятие вероятностного пространства
Тройку( , F, P), в кот. Р удовлетворяет аксиомам Холмогорова 2-5, а F является σ-алгебр. событий, называют вероятностным простр-вом. Из определения вероятности вытекают след. св-ва вероятности на этом простр-ве: 1) P( )=0, вероятность невозможного события; 2) P(Ā)=1-P(A); 3) Если A B, то P(A) P(B); 4) 0 P(A) 1; 5) P(A+B) =P(A)+P(B)-P(AB); 6) P(A+B) P(A)+P(B).
11.Теорема сложения вероятностей для несовместноых и совместн. Событий
Пусть события А и В несовместны, причем вероятности этих событий известны. Теорема: Вероятн. появления одного из 2-ух несовместн. событий(безразлично какого) равна сумме вероятностей этих событий, т.е. P(A+B) = P(A)+P(B). Доказ-во: Пусть n – возможн. элементарн. исходов испытания. m1 – число исходов благоприятствующ. событию А; m2 – число исходов благоприятств. событию В. Тогда P(A)=m1/n; P(B)=m2/n. Т.к события А и В несовместны, то нет таких исходов, кот. благоприятствовали бы одновремен. и событию А, и соб. В. Поэтому событию А+В благоприятствует m1+m2 элементарн. исходов испытания. Тогда P(A+B)=(m1+m2)/n=m1/n+m2/n=P(A)+P(B). Следствие: Вероятн. появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) или P( i)=
Теорема: Сумма вероятностей событий А1, А2…Аn, образующих полную группу равна 1, т.е. P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1. Доказат-во: Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятн. достоверн. события равна 1, то P(A1+A2+…+An)=1. Любые 2 события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: P(A1+A2+…+An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An)
Теорема:Сумма вероятн. противоположн. событий равна 1, т.е. P(A)+P(Ā)=1. Доказат-во: Противоположн. события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1. Замечание: Если вероятн. одного из противоположн. событий обозначить за p, а вероятн. другого через q, то предыдущ. формулу можно записать в виде: p+q=1.
12.Теорема сложения вер. Для совместн. Событий
Определ.: События А и В назыв. совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании, т.е. есть элементарн. события, входящие и в событие А, и в соб. В. Теорема: Вероятн. появления хотя бы 1 из 2-ух совместн. событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, т.е. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Доказ-во: Пусть в рез-те опыта возможны N равновозможн. исходов. Пусть далее событию А благоприятствует М исходов, а событию В благопр. К исходов. События А и В совместны, поэтому часть указан. исходов благоприятст. и событию А, и соб. В. Предположим, что таких исходов L, тогда P(A)=M/N, P(B)=K/N, P(AB)=L/N. Событие А+В заключается либо в наступлении события А, либо соб. В, либо соб. АВ, поэтому ему будет благоприятствовать M+K-L исходов. Тогда P(A+B)=(M+K-L)/N=M/N+K/N-L/N. Вероятн. суммы 3-ех совместн. событий вычисляются по формуле: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)