- •1.Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.
- •2. Определение событий. Виды событий. Действия над событиями.
- •3. Классическое определение вероятности.
- •4. Относительная частота. Устойчивость относительн. Частоты.
- •5.Статистическая вероятность
- •6.Геометрическая вероятность
- •7.Вычисление вероятностей с использованием комбинаторных схем
- •8.Понятие об алгебре событий
- •9.Аксиомы Колмогорова
- •10.Понятие вероятностного пространства
- •11.Теорема сложения вероятностей для несовместноых и совместн. Событий
- •12.Теорема сложения вер. Для совместн. Событий
- •13.Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •14.Независимые события. Теорема умножения для независим. Событий.
- •15.Вероятность появления хотя бы одного события
- •16.Формула полной вероятности
- •17.Формула Байеса
- •18.Формула Бернулли
- •19.Наивероятнейшее число появления событ. В последовательности независим. Испытаний
- •21.Функция Лапласа. Интегральная функц. Лапласа. Их применение для решения задач в условиях повторения испытаний.
- •20.Формула Пуассона
- •22.Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывн. Случайн. Величины.
- •23.Ряд распределения дискретн. Случ. Величины
- •24.Функция распредел. Св и ее св-ва
- •25. Плотность распределения вероятностей непрерывн. Св и ее св-ва.
- •29. Мода, медиана, ассиметрия, эксцесс.
- •30.Начальные и центральные моменты случайных величин.
- •31. Биномиальный закон распределения.
- •32. Гипергеометрическое распределение.
- •33. Закон Пуассона
- •38. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента.
- •39. Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону.
- •40. Закон распределения функции двух св.
- •42. Неравенство Чебышева.
- •44. Понятие центральной предельной теоремы.
- •46. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение.
- •47. Вариационный ряд, его хар-ки. Гистограмма. Полигон.
- •48. Эмпирическая функция распределения и ее св-ва.
- •49. Числовые хар-ки выборочного распределения: выборочное среднее, выборочная дисперсия, медиана, ассиметрия, эксцесс, выборочные моменты.
- •50. Понятие оценки параметра. Св-ва оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность.
- •51. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал.
- •53. Описание гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы.
- •54. Критерии проверки статистических гипотез.
- •55. Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.
13.Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Событие А называется независимым от события В, если вероятн. события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависим. от события В, если вероятн. соб. А меняется в зависим. от того, произошло соб. В или нет. Определ.: Вер. Соб. А, вычисленная при условии, что имело место др. соб. В, называется условной вероятностью события и обозначается PВ(A) или P(A\B). Условие независимости соб. А от соб. В можно записать в виде PВ(A)=P(A). Условие зависимости соб.: PB(A)≠P(A). Теорема: Вероятн. произведения 2-ух событий равна произв. вероятн. одного из них на условн. вероятн. другого, вычисленную при условии, что 1-ая имела место, т.е. P(AB)=P(A) PA(B). Доказат-во: Пусть возможн. исходы опыта сводятся к n случаям. Предположим, что событию А благоприятств. m случаев, а соб. В – k случаев. Т.к. мы не предполагали соб. А и В несовместными, то существуют случаи благоприятн. и соб. А, и соб. В одновременно. Пусть число таких случаев , тогда вероятн. соб. АВ будет равна /n, а P(A)=m/n. Вычислим условн. вероятн. соб. В в предположении, что соб. А имело место. Если известно, что соб. А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m случаев, кот. благоприятствовали соб. А, а из них только случаев благоприятствуют соб. В, поэтому PA(B)= /m. Подставляя в выражения вероятн. события АВ, вер. событ. А и условн. вероятн. соб. В, получаем тождество.
Замечание: При применении теоремы безразлично, какое из соб. А и В считать 1-ым, а какое 2-ым, т.е. P(AB)= P(A) PA(B)= P(B) PB(A)
14.Независимые события. Теорема умножения для независим. Событий.
Определ: 2 события назыв. независимыми, если появление любого из них не изменит вероятности появления другого, т.е. P(A)=PB(A) или P(B)=PA(B). Теорема: Вероятн. совместного появл. 2-ух независим. событий равна произведению их вероятностей, т.е. P(AB)= P(A) P(B). Доказат-во: Т.к. событие А и В независимы, то должно выполняться равенство P(B)=PA(B). Тогда по теореме умножения вероятностей P(AB)=P(A) PA(B)= P(A) P(B). Следствие: Если соб. А и В независимы, то независимы и события А и . Следствие 2: Если 2 события независимы, то независимы и противоположн. им события. Теорема: Вероятн. совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятн. одного из них на условные вероятн. всех остальных. Причем условн. вероятн. каждого последующего соб. вычисляется в предположении, что все предыдущ. уже наступили, т.е. P(A1 A2 …An)=P(A1) PA1(A2) , где - условная вероятность соб. Аn , вычисленная в предположении, что соб. А1, А2… Аn-1 произошли. Определ.: Событ. называются независимыми в совокупности, если наряду с их попарной независимостью независимо любое из них и произведение любого числа из остальных. В противн. случае события назыв. зависимыми. Теорема: Вероятн. совместн. появления нескольк. событ. независимых в совокупности равна произвед. вероятностей этих событий, т.е. P(A1 A2 …An)=P(A1) P(A2) … P(An).