Портфель из двух активов.

Формулы расчета для расчета доходности и риска портфеля значительно упрощаются и становятся наглядными, если портфель составлен из двух бумаг.

Пример 1.

Для портфеля из двух акций А и В рассчитать ожидаемую доходность портфеля,

стандарное отклонение для различных значений долей акций в портфеле. Построить эффективное множество.

Каким значениям корреляции соответствуют границы портфеля.

Акции	Ожидаемая доходность в %	Стандартное отклонение в %
А	10	2
В	20	8

Риск и доходность портфеля из двух бумаг легко находится из формул

(8)

Поскольку сумма весов в портфеле должна быть равна единице, то выразим вес акции 2 через вес акции 1 - ₁

₂ = 1 - ₁ (9)

Подставляя теперь (9) в выражения для доходности и риска портфеля (8) получим

(10)

Если для различных значений корреляции между бумагами А и Б и долями бумаг в портфеле построить множество , то получим множество возможных портфелей, которое получило название множество Марковица. Для коэффициентов корреляций {-1;-0,5;0;0,5;1} по формулам были найдены соответствующие значения доходности r _p и риска σ_p портфеля. Результаты расчетов показаны на рис.2

Рис.2

Границы множества Марковица для различных значений коэффициента корреляции активов, входящих в портфель

Граница имеет вид пули. Это легко можно объяснить, если рассмотреть случай двух типов акций позицией. При запрещенной короткой позиции вес каждой бумаги в портфеле должен быть неотрицательным. Риск можно полностью исключить, если бумаги имеют отрицательную корреляцию.

Стратегия Марковица заключается в том, что с ростом корреляции доходностей активов, входящих в портфель увеличивается вариация портфеля и включение в портфель активов с отрицательной корреляцией уменьшает риск портфеля. На практике таких активов очень мало

Границу множества портфелей Марковица называют эффективной границей Марковица. Портфели, лежащие вне этой границы недостижимы, а внутри неэффективны.

Пусть теперь необходимо найти портфель с минимальным риском. Это означает, что первая производная по дисперсии должна быть равна нулю.

(11)

Решая относительно получим долю акций типа А в портфеле

(12)

Минимальный риск будет при корреляции равной , а максимальный при корреляции равной единице

Пример.

Дисперсии (вариаци) равны , , . Минимальный риск будет иметь портфель, содержащий долю акций типа А равную

(13)

Подставляя (13) в выражении для среднеквадратического отклонения (10) найдем риск портфеля из двух бумаг

3,48%

Расчет доходности и риска портфеля из n акций.

Пусть необходимо сформировать портфель, состоящий из N акций. Известны r_i прогнозируемые доходности, - вариации доходности и ковариационная матрица. (ковариации акций). Эта информация, как было показано выше рассчитывается финансовыми аналитиками. Пусть доля капитала, которая вложена в i –тую акцию равна . Эти доли обычно называют весами. Сумма весов равна единице. Доходность портфеля равна средневзвешенному доходностей активов³

(2.7)

Под риском портфеля, как вообще отдельного актива понимается корень квадратный из вариации доходности портфеля.

(2.8)

- ковариационная матрица активов, входящих в портфель.

Для проведения расчетов удобно ввести матричную форму записи доходности и вариации портфеля. Обозначим доходности активов, как вектор–строку

R = (r₁, r₁,r₃,…..r_N) (2.10)

Доли активов (ценных бумаг) в портфеле обозначим как вектор –столбец

(2.11)

Матрицу вариаций-ковариаций активов cov(i,j) обозначим, как

VCV= (2.12)

Тогда доходность портфеля равна произведению матрицы доходностей активов R на транспонированную матрицу долей активов W

E(r_p)=R*W (2.13)