Оптимизация портфеля. Эффективная граница.

В плоскости риск -доходность возможно существование множества портфелей. Для решения задачи об инвестировании необходимо иметь следующую информацию

Ожидаемые доходности ценных бумаг из которых предполагается формировать портфель

Риск (вариацию доходности) каждой ценной бумаги

Матрицу вариаций ковариаций (фактически ковариацию каждой пары бумаг)

Эти данные могут быть получены либо на основе статистического подхода ( обычно это статистические оценки по выборке на основе данных по исторической доходности, поскольку эта информация доступна обычному инвестору), либо на основе аналитического подхода. (см выше)

Для инвестора наиболее предпочтительным является портфель, который при заданной доходности имеет наименьшую вариацию. Этот портфель называется эффективным. Множество портфелей для различных доходностей образует эффективную границу и называется эффективной границей.

С математической точки зрения нахождение эффективной границы - это задача оптимизации. Требуется найти доли ценных бумаг, при которых для заданного уровня доходности риск (вариация) портфеля будет минимальной. Задача легко и наглядно решается для случая двух бумаг. (см. ниже), для случая N ,бумаг в портфеле решение производится численными методами.

Основные методы:

Метод квадратичного программирования.

Метод множителей Лагранжа

Несмотря на то, что поиск оптимального портфеля - это хорошо известная математическая задача оптимизации, тем не менее вклад Марковица (1952) в теорию портфеля заключается в том, он перешел от общей проблемы инвестирования к формальной теории выбора портфеля. Он показал , что все эффективные портфели лежат в границах некоторого множества, вне границе этого множества портфелей не существует. Граница множества является эффективной границей, т. е на ней расположены портфели, которые имеют для заданной доходности минимальную вариацию доходности- риск. Иначе для заданного уровня риска максимальную доходность. Это множество называется множеством Марковица.

Для математической формулировки задачи оптимизации удобно записать ее в матричном виде. Используя введенные ранее обозначения

Var(r_p) =W^T*VCV*W min (целевая функция)

При ограничениях

E(r_p)=R*W^T = Rp

Rp- заданная инвестором доходность

Условие равенства суммы долей акций в портфеле не запрещает короткой позиции.

В приведенном выше виде, когда ограничения выражаются равенствами и можно использовать метод множителей Лагранжа. Целевая функция при введении множителей приобретает вид

Для трех акций лангранжиан равен

Условие минимума означает выполнения равенства частных производных L первого порядка. Значение второй производной автоматически больше нуля, поскольку вариация Var(rp) является выпуклой функцией долей.

Решая задачу для трех активов в результате получим систему из пяти линейных уравнений.

В матричном виде система уравнений имеет вид

=

Обозначим матрицу вариация -доходность как VCV1, вектор содержащий доли и множители Лагранжа, который необходимо найти, как W1, а вектор справа как А, то уравнение в матричном виде запишется как

VCV1*W1=А

Решение

W1 = VCV1^-1 А

Задача легко решается с помощью Excel.

1Оценка доходности акции с ипользованием вероятности сценариев называет «средне-вариационным методом» (means-variance)

2 В методологии оценки доходностей и вариации акций RiskMetrics банка JP Morag при вычислении доходностей во всех случаях используется "логарифмическая" доходность (т.е. доходность на основе непрерывного сложного процента

3 E – среднее значение случайной величины.

14