2. Классическая теория интерполяции.

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. В этом случае аппроксимирующая функция проходит через заданные узловые точки.

Постановка задачи.

Основная задача классической теории интерполяции заключается в следующем. Пусть известны значения некоторой функции y = f(x) в точках х₀, х₁, …, х_n требуется заменить f(x) другой функцией φ(x), которая бы просто вычислялась и была близка к f(x) в некотором смысле. К такой задаче можно прийти, если:

1) функция f(x) задана таблично;

2) вычисление значений f(x) трудоемко и требуется найти значения f(x) при x≠x_k. Чтобы эта задача была корректной, на функцию f(x) необходимо наложить дополнительные условия: например, потребовать непрерывность ее производных.

Способ приближения функции f(x) некоторой функцией φ(x), основанный на требовании: φ(x_k)=f(x_k) называется интерполированием или интерполяцией.

К интерполированию приходится иногда прибегать и в том случае, когда для функции f(x) известно и аналитическое представление, с помощью которого можно вычислять ее значения для любого значения х из отрезка [a, b], в котором она определена, но вычисление каждого значения сопряжено с большим объемом вычислений. Если в процессе решения задачи необходимо находить значения функции f(x) для очень большого количества значений аргумента, то прямой способ потребовал бы громадной вычислительной работы. В этом случае для уменьшения объема вычислений прибегают к интерполированию, т.е. вычисляют несколько значений f(x_i) (i=0, 1, ..., n) и по ним строят простую интерполирующую функцию φ(x), с помощью которой и вычисляют приближенные значения f(x) в остальных точках.

Интерполяцией функции f(x) называется замена ее функцией φ(x) определенного класса, совпадающей с f(x) в точках x_k. При этом точки x_k называются узлами интерполяции.

Если интерполяционная функция φ(x) строится на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента х, то такая интерполяция называется глобальной (когда φ(x) проходит через все узлы). В противном случае интерполяцию называют кусочной или локальной (когда находим φ(x) по некоторым узлам).

Погрешностью интерполяции функции f(x) на некотором отрезке называется максимум величины |f(x)- φ(x)| на этом отрезке.

Типы интерполяции по приближающей функции

1. Полиномиальная;

2. Тригонометрическая;

3. Экспоненциальная.

Полиномиальная интерполяция.

Чаще всего интерполирующую функцию φ(x) находят в виде алгебраического многочлена. Такой способ приближения имеет в своей основе гипотезу, что на небольших отрезках изменения х функция f(x) может быть достаточно хорошо приближена с помощью параболы некоторого порядка, аналитическим выражением которой и будет алгебраический многочлен. Это обусловлено как большей простотой вычисления полиномов по сравнению с другими классами интерполирующих функций, так и более развитым математическим аппаратом.

Задача полиномиальной интерполяции состоит в следующем: для данной функции y=f(x) строим многочлен

(x)=х₀ +a₁x + a₂x² + ... + a_mx^mn. (1)

принимающий в заданных точках x_i те же значения y_i, что и функция f(x), т.е.

(x_i) = y_i, i = 0, 1, …, n. (2)

При этом предполагается, что среди значений x_i нет оди­наковых, т. е. x_i  x_k при ik. Точки x_i называются уз­лами интерполяции, а много­член (х)- интерполяционным многочленом.

Таким образом, близость ин­терполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпада­ют па заданной системе точек (рис. 1).

Рис. 1

Максимальная степень ин­терполяционного многочлена m=n; в этом случае говорят о глобальной интерполяции поскольку один многочлен

(x)= a₀ + a₁х + ... + а_nхⁿ (3)

используется для интерполяции функции f(х) на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента х. Ко­эффициенты a_j многочлена (3) находятся из системы уравнений (2). Можно показать, что при x_i  x_k (ik) эта система имеет единственное решение.

Интерполяционные многочлены могут строиться от­дельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения х. В этом случае имеем кусочную интерполяцию.

Как правило, интерполяционные многочлены исполь­зуются для аппроксимации функции в промежуточных точках между крайними узлами интерполяции, т. е. при x₀<х<x_n. Однако иногда они используются и для при­ближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка (х <x₀, х>x_n). Это приближение называют экстраполяцией.