2.1. Кусочная интерполяция.

На практике чаще используется кусочно-полиномиальная интерполяция, то есть исходный отрезок разбивается на части и на каждом отрезке малой длины исходная функция заменяется многочленом невысокой степени.

Линейная интерполяция - простейший вид полиномиальной интерполяции. Она заключается в замене f(x) линейной функцией на основе значений f(x) в 2-х точках. Во многих случаях его вполне достаточно для вычисления значений табличных функций, особенно математических, в частности легко решается часто встречающаяся задача обратного интерполирования (поиск аналитического приближения функции, обратной для данной табличной функции).

Пусть y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), тогда линейная интерполяция задается уравнением:

.

Линейная интерполяция носит локальный характер и используется для нахождения значений f(x) на отрезке [x_i-1, x_i], где i = 1, 2,..., n.

В результате применения метода линейной интерполяции к узлам таблично заданной функции получаем систему линейных уравнений.

Говорят, что таблица допускает линейную интерполяцию, если на каждом отрезке [x_k, x_k+1] погрешность вычислений с ее помощью не превосходит погрешности значений таблицы.

Пример: Пусть заданы значения x₀=-1.2, x₁=-0.8, x₂=0.5, x₃=1.5 и y₀=-2.3, y₁=1.4, y₂=1.7, y₃=0.6. Определить значение неизвестной функции для х = 1.

Искомая точка находится на отрезке [x₂, x₃]

Квадратичная интерполяция проводит через узловые точки уравнение параболы:

Здесь коэффициенты , и разные на каждом интервале , . Определяются решением системы уравнений.

Пример.

На практике возникает также необходимость построения интерполяционных формул для функций нескольких переменных. Для простоты ограничимся функцией двух переменных . Чтобы построить линейную интерполяционную формулу нужно найти уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки i=1,2,3, где . Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, можно записать в виде

Отсюда можно найти

Пример: вычислить приближенное значение функции в точке (1,0), если известны ее значения .

Вычислим значения определителей:

Таким образом, , или . При x=1, y=0 получим z -0.1.

2.2. Глобальная интерполяция.

2.2.1. Интерполяционный полином Лагранжа.

Наиболее общей формулой полиномиального интерполирования является интерполяционная формула Лагранжа. Задача параболиче­ского интерполирования в этом случае формулируется следующим об­разом: на отрезке [a,b] в узлах интерполяции х₀ x₁ ..., х_n задается функция f(x) cвоими n + 1 значениями y₀=f(x₀), y₁=f(x₁),...y_n=f(x_n) требуется построить многочлен L(x) так, чтобы в узлах интерполяции x_0, x_1, .... х_n его значения совпадали со значениями заданной функции, т. е.

l(x_o)=y_o, l(x₁)=y₁,..., l(x_n)=y_n.

Следует отметить, что в такой постановке задачи узлы интерполя­ции х₀, x₁ ..., х_n могут произвольно отстоять друг от друга на отрез­ке [а, b], иными словами, узлы интерполяции неравноотстоящие, т. е. h=x_i+1-x_i≠const (i=0,1,..,n-1); величина h называ­ется шагом интерполяции.

Задача имеет решение, если степень многочлена L(x), которым мы заменяем неизвестную функцию, не выше n.

Пусть нам даны значения функции f(x) в n+1 точке:

y_i = f(x_i) при i = 0, 1, … n.

Тогда существует полином L(x) = a₀ + a₁х + … + a_nхⁿ, значения которого совпадают со значениями f(х) во всех точках х_i. Этот полином называется полиномом Лагранжа и служит примером глобальной интерполяции.

Коэффициенты a_j можно найти, решив следующую систему:

(4)

Определитель этой системы является определителем Вандермонда. Он не равен нулю, если попарно различны, поэтому система всегда имеет единственное решение. Таким образом, для любой табличной функции найдется единственный интерполяционный многочлен, степень которого в общем случае на единицу меньше количества узлов интерполирования.

Неизвестные найдем по формулам Крамера:

где_— определитель системы (4).

Найдя коэффициенты, можно представить интерполяционный многочлен в виде

Этот многочлен можно представить в другой форме:

где L_j(x) - полиномы n-ой степени, называемые лагранжевыми коэффициентами и имеющие вид:

. (5)

Легко убедиться в справедливости формулы (5). Действительно, степень каждого полинома L_j в точности равна n, сам он равен 1 в точке х = x_j и обращается в нуль в остальных узлах интерполяции. Формула (5) позволяет вычислять значения полинома Лагранжа и без нахождения его коэффициентов.

У интерполяционного многочлена Лагранжа видно его явную зависимость от каждого значения функции Это в многих случаях бывает полезно, но при изменении интерполяционный многочлен Лагранжа надо строить заново. В этом его недостаток.

Пример 1. Положим n = 1. Ясно, что мы имеем в этом случае две точки и интерполяционная формула Лагранжа дает уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

.

Примем n = 2. Тогда получим уравнение параболы, проходящей через три точки.

.

n=3. Пусть заданы значения x₀=1, x₁=3, x₂=7, x₃=12 и y₀=5.6, y₁=6.7, y₂=8.1, y₃=10.3. Определить значение неизвестной функции для х = 6,5.

Для данного случая, когда мы имеем четыре значения функции, интерполяционная формула Лагранжа представляется так:

После подстановки заданных значений в формулу Лагранжа получаем:

Определим значение функции при х = 6,5:

Если в рассмотренном примере добавить к таблице еще одну точку, то вычисление значения функции придется производить заново. Кроме того, из самого примера видно, что процесс получения приближенного значения функции по интерполяционной формуле Лагранжа связан с большими вычислениями. Это приводит к необходимости упрощения вычислительной работы.

Для удобства вычислений составим вспомогательную таблицу где х_о, x₁, …, x_n — узлы интерполяции, а х— значение аргумент, для которого определяется приближенное значение по интерполяционной формуле Лагранжа.

,

Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа можно переписать в виде .

			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…

Пример 2. Функция f(х) задана таблично:

X	0.2	0.65	0.75	1.65	2
Y	1.2	0.9	0.6	1.7	1.4

Пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа, найти ее значение в точке x = 1.

Решение. Составим таблицу и найдем П₅ (1) = - 48. Приближенное значение функции в точке х =1, т. е f(1) L₄(1), определим по формуле.

1-0.2	0.2-0.65	0.2-0.75	0.2-1.65	0.2-2	0.517
0.65-0.2	1-0.65	0.65-0.75	0.65-1.65	0.65-2	-0.021
0.75-0.2	0.75-0.65	1-0.75	0.75-1.65	0.75-2	0.015
1.65-0.2	1.65-0.65	1.65-0.75	1-1.65	1.65-2	0.297
2-0.2	2-0.65	2-0.75	2-1.65	1-2	-1.063

0.8	-0.45	-0.55	-1.45	-1.8	0.517
0.45	0.35	-0.1	-1	-1.35	-0.021
0.55	0.1	0.25	-0.9	-1.25	0.015
1.45	1	0.9	-0.65	-0.35	0.297
1.8	1.35	1.25	0.35	-1	-1.063