2.2.4. Многочлен Эрмита.

Существует несколько обобщений многочлена Лагранжа, в том числе и многочлен Эрмита, при построении которого требуется, чтобы в узлах x_i совпадали с табличными данными не только значения функции f , но и их производные - f', f'', …, f^(Ni-1) – до некоторого порядка N_i .

Необходимо построить полином степени в котором N_i - кратность узла і. Полином существует и единственный

Всего будет N₀ + N₁ + … + N_n уравнений. Количество уравнений равно количеству коэффициентов.

Рассмотрим полином степени m, производные которого H_m^(j)(x_i) = 0, j = 0, 1, …, N_i-1 . Это значит, что x_i - корень кратности N_i-1 .

Тогда на [a; b] существует N₀ + N₁ + … + N_n = m+1 корней, но т.к. степень его m, то при всех x H_m(x) = 0.

Будем искать H_m(x) в виде H_m(x) = L_n(x) + w_n(x) H_m-n(x),

где L_n(x_i) = y_i, w_n(x_i) = 0, i = 0, 1, …, n.

Производная:

H'_m(x) = L'_n(x) + w'_n(x) H_m-n(x) + w_n(x) H'_m-n(x),

причем H'_m(x_i) = L'_n(x_i) + w'_n(x) H_m-n(x_i).

В тех точках, где задано f'(x_i), найдем

Дальше находят вторую производную:

H''_m(x) = L''_n(x) + w''_n(x) H_m-n(x) + 2 w'_n(x) H'_m-n(x) + w_n(x) H''_m-n(x),

причем H''_m(x_i) = L''_n(x_i) + w''_n(x_i) H_m-n(x_i) + 2 w'_n(x_i) H'_m-n(x_i),

Откуда выражают H'_m-n(x_i), потому что другие величины известны, и т. д..

Пример.

Пусть заданы значения функции и ее производных в точках x₀ = 0; x₁ = 1; x₂ = 2:

f(0) = 1; f '(0) = 1; N₀ = 2;

f(1) = 1,5; N₁ = 1;

f(2) = 0; f '(2) = 0; f ''(2) = 1; N₀ = 2;

Таким образом, m = (2 + 1 + 3) - 1 = 5.

Полином Эрмита ищем в виде H₅(x) = L₂(x) + w₃(x) H₂(x):

,

,

поэтому

w₃'(x) = (x - 1)(x - 2) + x(x - 2) + x(x - 1);

w₃'(0) = 2; w₃'(1) = -1; w₃'(2) = 2;

H₅''(x) = -2 + w₃''(x) H₂(x) + 2w₃'(x) H₂'(x) + w₃(x) H₂''(x);

H₅''(2) = -2 + w₃''(2) H₂(2) + 2w₃'(2) H₂'(2) + w₃(2) H₂''(2);

1 = -2 + 6(2-1) 5/4 + 4 H₂''(2) + 0;

H₂'(2) = -1,125.

,

H₀(x) = const.

.

В общем случае выражение для многочлена Эрмита очень громоздко и пользоваться им на практике трудно, поэтому ограничиваются только некоторыми простейшими случаями. Например. Многочлен Эрмита, который сохраняет в двух точках значения заданной функции и ее первой производной, имеет вид:

.

Погрешность.

2.2.5. Интерполяционные полиномы Гаусса, Стирлинга и Бесселя.

При построении интерполяционных формул Ньютона используются лишь значения функции, которые расположенные по одну сторону от выбранного начального значения, то есть эти формулы носят односторонний характер. Во многих случаях оказываются полезные интерполяционные формулы, которые содержат в себе как следующие, так и предшествующие значения функции по отношению к ее начальному значению. Чаще используются разности, расположенные в горизонтальной строке диагональной таблицы разностей данной функции, которые отвечают начальным значениям x₀ и y₀, или в строках, которые непосредственно примыкают к ней. Эти разности Δf_-1, Δf_0, Δf²_-1 ... называют центральными разностями (табл.4), где

Таблица 4.

x	f(x)	f	^2f	^3f	^4f	^5f	^6f
x-4	f-4
		f-4
x-3	f-3		^2f-4
		f-3		^3f-4
x-2	f-2		^2f-3		^4f-4
		f-2		^3f-3		^5f-4
x-1	f-1		^2f-2		^4f-3		^6f-4
		f-1		^3f-2		^5f-3
x0	f0		^2f-1		^4f-2		^6f-3
		f0		^3f-1		^5f-2
x1	f1		^2f0		^4f-1		^6f-2
		f1		^3f0		^5f-1
x2	f2		^2f1		^4f0
		f2		^3f1
x3	f3		^2f2
		f3
x4	f4

Соответствующие интерполяционные формулы носят название интерполяционных формул с центральными разностями. К ним относятся формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя.

Пусть есть 2n+1 равноотстоящих узлов интерполирования х_-1, х _-(n-1), ...,х _-1, х₀, х₁, ... х_n-1, х_n, где х_i=х_i+1–x_i = h = const (i= -n,-(n-1),..., n –1)) и для функций f(x) известные ее значения в этих узлах f(x_i) (i = 0, ± 1,..., ± n). Нужно построить многочлен степени не выше 2n такой, что P(x_i) = f(x_i), при i = 0, ± 1,..., ± n.

Приведем интерполяционные формулы, опуская их вывод. Первая интерполяционная формула Гаусса:

, (12)

где а – центральные разности, которые образуют в табл.4 нижнюю ломаную строку.

Вторая интерполяционная формула Гаусса:

, (13)

где – центральные разности, которые образуют в табл.4 верхнюю ломаную строку.

Формулы Гаусса используются для интерполяции в середине таблицы вблизи x₀: первая при х > х₀, вторая — для х < x₀.

Интерполяционная формула Стирлинга получается, если взять среднее арифметическое интерполяционных формул Гаусса (12) и (13):

Из второй интерполяционной формулы Гаусса можно получить интерполяционную формулу Бесселя в виде

При более детальном рассмотрении интерполяционных формул оказывается, что при | t |≤ 0,25 целесообразно использовать формулу Стирлинга, а при 0,25 ≤ t ≤0,75 — формулу Бесселя.

Остаточный член интерполяционных формул Гаусса и Стирлинга для порядка 2n максимальных использованных разностей из Таблицы 4 и при х  [x₀ – nh, x₀ +nh ] имеет вид:

Если же аналитическое выражение функции неизвестно, то при малом h:

Если (2n+1) -порядок максимально использованной разности из таблицы и х  [x₀–nh, x₀ + (n+1)h], то остаточный член интерполяционной формулы Бесселя запишется в виде:

Если же функция f(x) заданна таблично и шаг h мал, то

В частности, при t= 0,5 получим погрешность интерполяции на середину

или

.

Пример