Интерполяция с равноотстоящими узлами.

Интерполяционная формула Лагранжа заметно упрощается, если узлы интерполяции равноотстоящие.

Пусть - узлы интерполяции, - шаг интерполяции, - заданные значения функции причем

Введем некоторое число Тогда узлу соответствует и, кроме того, выполняются соотношение При этом интерполяционный многочлен Лагранжа, который соответствует случаю записывается в виде

В общем виде интерполяционный многочлен Лагранжа получит следующий вид:

где

Пример:

2.2.2. Интерполяционный полином Ньютона.

Другая форма записи интерполяционного многочлена – интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями.

Конечные и разделенные разности. Конечные разности.

Пусть где - целое, . Величина называется конечной разностью первого порядка функции в точке (с шагом ).

Величина

называется конечной разностью второго порядка функции в точке .

Вообще, конечная разность n-го порядка функции в точке означается рекуррентным соотношением

где . (6)

При вычислениях конечные разности удобно записывать в виде таблицы.

Таблица 1.

Рассмотрим некоторые свойства конечных разностей.

Одно из практических применений конечных разностей состоит в следующем. Если , то величина вычисляется через табличные значения функции с помощью формулы (6), и равняется значению производной в некоторой точке , где

Поэтому, если маленькое, то число можно приближенно принять за величину и использовать в оценке погрешности интерполяции с равноотстоящими узлами. Такой нестрогой оценкой погрешности пользуются, если достаточно сложное вычисление производной , или, вообще, имеем в распоряжении только табличные значения n+1 раз дифференцированной функции.

Разделенные разности.

Пусть теперь -произвольные точки (узлы) оси , причем при .

Значение функции в узлах называются разделенными разностями нулевого порядка.

Число называется разделенной разностью первого порядка функции (соответственно точкам ).

Очевидно, что, разделенная разность первого порядка является симметричной функцией аргументов и .

Разделенная разность -го порядка определяется через разделенные разности -го порядка по рекуррентной формуле

При вычислениях разделенные разности записывают в виде таблицы.

Таблица 2.

Разделенная разность -го порядка может быть представлена через узловые значения функции формулой то есть симметричной функцией своих аргументов.

Значение разделенной разности не зависит от порядка нумерации узлов, по которыми она строится. Всего имеем вариантов нумерации узлов целыми числами от 0 к .

Если то есть узлы размещаются на оси с постоянным шагом то между разделенной разностью -го порядка и конечной разностью -го порядка существует следующая связь: .

Пусть - минимальный отрезок, который содержит узлы . Тогда существует такая точка что .

Конечные и разделенные разности, в частности, используются для построения интерполяционных многочленов.

Интерполяционный многочлен Ньютона.

Пусть -произвольные узлы, которые не совпадают и в которых известные значения функции .

Алгебраический многочлен -го степени

(7)

является интерполяционным, то есть

Многочлен (7) называется интерполяционным многочленом Ньютона для неравных промежутков. Он тождественно совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа, то есть Таким образом мы имеем разные записи интерполяционного многочлена.

Интерполяционный многочлен Ньютона (7) содержит не значение функции , а ее разделенные разности. При изменении степени у интерполяционного многочлена Ньютона надо добавить или отвергнуть соответствующее количество стандартных слагаемых. Это удобно на практике.

Случай равноудаленных узлов. Пусть Тогда, учитывая связь разделенной разности с конечной разностью и вводя безразмерную переменную интерполяционный многочлен (7) можно переписать в виде

(8)

Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед.

В нем начало отсчета находится в крайнем узле , а использованные конечные разности идут в таблице разностей от вправо вниз. Интерполяционный многочлен (8) удобно использовать в начале таблицы.

Интерполяционный многочлен с узлами , где , имеет вид

(9)

и называется интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции назад.

В нем начало отсчета расположено в крайнем правом узле , а использованные конечные разности идут в таблице от вправо вверх.

Таблица 3

Интерполяционный многочлен (9) удобно использовать при интерполяции в конце таблицы.

Если при заданном в таблице значений функции с шагом имеем достаточное количество узлов из каждой стороны от , то целесообразно узлы интерполяции выбирать так, чтобы точка оказалась как можно более близкое к середине минимального отрезка, который содержит узлы. При этом интерполяционный многочлен можно строить по-разному.

Наиболее удобно задать интерполяционный многочлен в виде (7), где за берется ближайший к узел, дальше за принимается ближайший к узел, который располагается с противоположной от стороны, чем . Следующие узлы назначаются поочередно с разных сторон от , которые располагаются возможно более близкое к . При током выборе узлов слагаемые, которые следуют один за одним в выражении (7), как правило, совпадают, если маленькое, а небольшое.