§3. Комплексная форма уравнений элементов.

§3.1. Цепь переменного тока с резистором, активная мощность.

Пусть на вход цепи с известным активным сопротивлением (рис. 5) приложено синусоидальное напряжение

(1)

Необходимо установить, как будут изменятся ток и мощность цепи.

По закону Ома для мгновенных значений ток цепи:

(2)

И з сопоставления уравнений (1) и (2) следует, что сдвиг фаз , т. е. ток и напряжение совпадают по фазе и векторная диаграмма имеет вид, представленный на рис. 5. Комплексная амплитуда тока .

Разделив левую и правую части этого равенства на , получим соотношение для действующих значений токов и напряжений:

(3)

Уравнение (3) выражает закон Ома в комплексной форме для участка цепи с активным сопротивлением.

Мгновенная мощность электрической цепи с активным сопротивлением равна произведению мгновенных значений напряжения и тока:

(4)

Среднее значение мощности за период:

или

(5)

Если в выражение (5) подставить значение , тогда получим, что среднее значение мощности , которая преобразуется в активном сопротивлении в тепловую энергию равно:

Графики изменения напряжения, тока и мощности цепи с активным сопротивлением, представлены на рис. 6 для случая, когда начальная фаза . Из графиков видно, что мгновенная мощность изменяется от нуля до , оставаясь все время положительной. Это означает, что при любом направлении тока поступающая из сети энергия превращается в тепловую энергию и, нагревая резистор R, рассеивается в окружающее пространство.

З аштрихованная на рисунке площадь равна преобразованной в теплоту энергии.

§3.2. Цепь переменного тока с индуктивностью, реактивная мощность.

Обмотки электрических машин и аппаратов, а также индуктивные катушки, используемые в различных устройствах радиоэлектроники, характеризуются параметром индуктивность L. Любая катушка наряду с индуктивностью L обладает также активным сопротивлением R. Рассмотрим катушку с индуктивностью L, активным сопротивлением которой можно пренебречь, т. е. идеальную катушку (рис. 7а). Пусть ток в цепи изменяется по гармоническому закону

(1)

Этот ток создает в катушке синусоидально изменяющийся поток, который наводит в ней э. д. с. самоиндукции

,

где

, (2)

(3)

Действующие значение э.д.с. самоиндукции равно . Из формулы (3) следует, что э.д.с. самоиндукции отстает по фазе от тока на угол .

Напряжение источника должно компенсировать э. д. с. самоиндукции и изменяться по закону:

. (4)

Комплексная амплитуда напряжения на индуктивности:

(5)

, напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на угол . Разделив правые и левые части этих выражений на , получим комплексные действующие значения тока и напряжения на индуктивности:

,

(6)

Графики напряжения, тока и мощности цепи с идеальной индуктивностью, представлены на рис. 8 для случая, когда начальная фаза .

Произведение имеет размерность сопротивления. Его обозначают буквой и называют реактивным индуктивным сопротивлением:

(7)

Э то сопротивление учитывает реакцию электрической цепи на изменение магнитного потока в индуктивности. Индуктивное сопротивление прямо пропорционально индуктивности катушки и частоте проходящего по ней тока, зависимость от частоты , называется частотной характеристикой индуктивности, представлена на рис. 9.

Из уравнения (6) можно получить закон Ома в комплексной форме для цепи с индуктивностью:

(8)

Мгновенная мощность в цепи с индуктивностью определяется формулой:

(9)

Отсюда следует, что мгновенная мощность в цепи с индуктивностью изменяется с частотой в два раза большей, чем частота тока (рис. 8б). В пер­вую четверть периода, когда ток и напряжение положительны, мощность также положительна. Энергия от источника переходит в индуктивный эле­м ент, где она затрачивается на создание магнитного поля. К концу первой четверти периода поле имеет максимальную энергию , равную заштрихо­ванной площади, во вторую четверть периода ток убывает, но оста­ется положительным. Напряжение и мощность отрицательны. К концу второй четверти периода весь запас энергии магнитного поля возвращается обратно в цепь. Среднее значение мощности в такой цепи за период равно нулю:

Таким образом, в течение одного периода электроэнергия дважды поступает от источника в катушку и обратно. При этом вся передаваемая энергия запасается в магнитном поле катушки и затем вся возвращается источнику. Такая энергия обмена между источником и нагрузкой, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной мощностью . Реактивная мощность равна амплитуде мгновенной мощности (9), т. е. _.

Реактивная мощность имеет ту же размерность, что и активная мощность. Но для удобства для единиц измерения реактивной мощности принято другое наименование: Вольт-Ампер реактивный (ВАр).

Напряжение на элементе с индуктивностью , поэтому реактивную мощность можно также определить по формулам:

(10)

где - индуктивная проводимость.