- •Рабочая учебная программа
- •Математика
- •Содержание
- •Аннотация
- •Цель и задачи дисциплины
- •Программа дисциплины
- •Основные требования к знаниям и умениям студентов
- •Объем дисциплины и виды учебной работы Для студентов дневного отделения
- •Для студентов заочного отделения (полная форма обучения)
- •Для студентов заочного отделения (сокращенная форма обучения)
- •Для студентов заочного отделения (сокращенная форма обучения, II высшее)
- •Примерный тематический план Для студентов очного отделения
- •Для студентов заочного отделения (полная форма обучения)
- •Для студентов заочного отделения (сокращенная форма обучения)
- •Для студентов заочного отделения (сокращенная форма обучения, II высшее)
- •Технологическая карта
- •Технологическая карта
- •Примерные темы лекционных занятий
- •I семестр
- •II семестр
- •III семестр
- •IV семестр
- •Примерные темы практических занятий
- •I семестр
- •II семестр
- •III семестр
- •IV семестр
- •Задания по самостоятельной работе студентов очного отделения
- •I, II семестры
- •Литература
- •III, IV семестры
- •Литература
- •Методические рекомендации для преподавателей дисциплины «Математика»
- •Методические указания к выполнению контрольных работ для студентов заочного отделения (полная форма обучения, сокращенная форма обучения, II высшее) Требования к выполнению контрольных работ
- •Примерный перечень вопросов к экзаменам Для студентов очного обучения Вопросы к экзамену
- •I семестр
- •Вопросы к экзамену
- •II семестр
- •Вопросы к зачету
- •III семестр
- •Вопросы к экзамену
- •IV семестр
- •Для студентов заочного обучения
- •Вопросы к зачету
- •I семестр
- •Вопросы к экзамену
- •II семестр
- •Вопросы к зачету
- •III семестр
- •Вопросы к экзамену
- •IV семестр
- •Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов очного и заочного отделений по дисциплине «Математика»
- •1.1. Понятие предела последовательности
- •1.2. Вычисление
- •1.3. Вычисление
- •1.4. Вычисление
- •1.5. Понятие предела функции
- •1.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •1.7. Вычисление
- •1.8. Вычисление
- •1..9. Вычисление
- •1.10 Вычисление
- •1.11. Вычисление
- •1.12. Вычисление
- •Раздел II Векторы. Прямая на плоскости и в пространстве. Плоскость
- •Разложение вектора по базису
- •Коллинеарность вектров
- •2.3. Угол между векторами
- •2.4 Площадь параллелограмма
- •2.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объём и высота тетраэдра
- •2.7. Расстояние от точки до плоскости
- •2.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •2.9. Угол между плоскостями
- •2.10. Каноническое уравнение прямой
- •Раздел III Транспортная задача
- •3.1 Стандартная транспортная задача Задача № 1
- •Решение
- •3.2 Модификации стандартной транспортной задачи Недопустимые перевозки
- •Максимизация цф
- •Многопродуктовые модели
- •Задача № 2
- •Решение
- •4 45 Ед.Товара 445 ед.Товара
- •Задача №7
- •Задача № 12
- •Задача № 13
- •По дисциплине «математика»
- •Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3.
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •1 A) ; б) ; в) ; г) . . Какие из приведенных решений являются опорными для следующей системы уравнений:
- •5. Методом минимального элемента найти опорный план транспортной задачи, заданной следующей таблицей и вычислить соответствующие транспортные издержки.
- •Тесты по экономико-математическому моделированию
- •Модифицированный вариант прямого симплекс-метода
- •Выберите правильные утверждения относительно алгоритма прямого симплекс-метода:
- •Выберите верные утверждения
- •Задача, частично решенная графическим способом, скорее всего:
- •Литература
2.10. Каноническое уравнение прямой
Постановка задачи. Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (плоскости заданы общими уравнениями)
План решения.
1. Проверяем, что векторы и неколлинеарны и, следовательно, плоскости пересекаются по некоторой прямой.
Каноническое уравнение прямой с направляющим вектором , проходящей через данную точку , имеет вид
. (1)
Поэтому, чтобы написать уравнения прямой, необходимо найти её направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.
2. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то её направляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. и .
Следовательно, направляющий вектор находим по формуле
.
3. Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой непараллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка её пересечения с этой координатной плоскостью.
4. Подставляем найденные направляющий вектор и точку в уравнение прямой (1) и записываем ответ.
Пример. Написать каноническое уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей
Решение.
1. Проверим, что векторы и неколлинеарны (см. задачу 1.2). Имеем
.
Векторы и неколлинеарны, так как их координаты непропорциональны. Следовательно, две плоскости пересекаются по прямой.
2. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то её направляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. и . Следовательно, направляющий вектор находим по формуле
.
3. Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой непараллелен ни одной из координатный плоскостей, то прямая пересекает все три координатные плоскости. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка её пересечения, например, с плоскостью Координаты этой точки находим, решая систему трёх уравнений
Получим , и т.е. .
4. Подставляя найденные направляющий вектор и точку в уравнения прямой (1), получим
.
Ответ. Канонические уравнения прямой имеют вид
.
Задания для самостоятельной работы
Условия задач. Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Ответы.
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
Раздел III Транспортная задача
3.1 Стандартная транспортная задача Задача № 1
Заводы некоторой автомобильной фирмы расположены в городах А, В и С. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах В и Е. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1300 и 1200 автомобилей ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно. Стоимости перевозки автомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены в табл. 1
Таблица 1 Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт.
|
D |
Е |
А |
80 |
215 |
В |
100 |
108 |
С |
102 |
68 |
Постройте математическую модель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждого завода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальны.