Исходные данные для выполнения задания №1.
Вариант № 1.
Интервал значений |
Частота |
2,0<x<=4,0 |
1 |
4,0<x<=6,0 |
5 |
6,0<x<=8,0 |
7 |
8,0<x<=10,0 |
10 |
10,0<x<=12,0 |
11 |
12,0<x<=14,0 |
13 |
14,0<x<=16,0 |
2 |
16,0<x<=18,0 |
1 |
Итого |
50 |
Вариант № 2
Интервал значений |
Частота |
8,0<=x<10,0 |
2 |
10,0<=x<12,0 |
14 |
12,0<=x<14,0 |
21 |
14,0<=x<16,0 |
28 |
16,0<=x<18,0 |
18 |
18,0<=x<20,0 |
11 |
20,0<=x<22,0 |
6 |
Итого |
100 |
Вариант № 3
Интервал значений |
Частота |
3,0<=x<6,0 |
4 |
6,0<=x<9,0 |
5 |
9,0<=x<12,0 |
16 |
12,0<=x<15,0 |
23 |
15,0<=x<18,0 |
27 |
18,0<=x<21,0 |
14 |
21,0<=x<24,0 |
7 |
24,0<=x<27,0 |
3 |
27,0<=x<30,0 |
1 |
Итого |
100 |
Вариант №4
Интервал значений |
Частота |
8,0<=x<11,0 |
1 |
11,0<=x<14,0 |
3 |
14,0<=x<17,0 |
15 |
17,0<=x<20,0 |
22 |
20,0<=x<23,0 |
27 |
23,0<=x<26,0 |
16 |
26,0<=x<29,0 |
10 |
29,0<=x<32,0 |
5 |
32,0<=x<35,0 |
1 |
Итого |
100 |
Вариант № 5.
Интервал значений |
частота |
9,0<=x<12,0 |
2 |
12,0<=x<15,0 |
8 |
15,0<=x<18,0 |
16 |
18,0<=x<21,0 |
23 |
21,0<=x<24,0 |
28 |
24,0<=x<27,0 |
18 |
27,0<=x<30,0 |
4 |
30,0<=x<33,0 |
1 |
Итого |
100 |
Вариант №6.
Интервал значений |
частота |
4,0<=x<7,0 |
2 |
7,0<=x<10,0 |
17 |
10,0<=x<13,0 |
18 |
13,0<=x<16,0 |
26 |
16,0<=x<19,0 |
17 |
19,0<=x<22,0 |
10 |
22,0<=x<25,0 |
8 |
25,0<=x<28,0 |
2 |
Итого |
100 |
Вариант № 7.
Интервал значений |
Частота |
5,0<=x<6,2 |
4 |
6,2<=x<7,4 |
2 |
7,4<=x<8,6 |
13 |
8,6<=x<9,8 |
19 |
9,8<=x<11,0 |
18 |
11,0<=x<12,2 |
29 |
12,2<=x<13,4 |
12 |
13,4<=x<14,6 |
2 |
14,6<=x<15,8 |
1 |
Итого |
100 |
Вариант №8.
Интервал значений |
Частота |
0,0<=x<2,0 |
4 |
2,0<=x<4,0 |
2 |
4,0<=x<6,0 |
9 |
6,0<=x<8,0 |
17 |
8,0<=x<10,0 |
25 |
10,0<=x<12,0 |
21 |
12,0<=x<14,0 |
10 |
14,0<=x<16,0 |
3 |
16,0<=x<18,0 |
9 |
Итого |
100 |
Вариант №9
Интервал значений |
Частота |
4,0<=x<9,0 |
2 |
9,0<=x<14,0 |
3 |
14,0<=x<19,0 |
18 |
19,0<=x<24,0 |
18 |
24,0<=x<29,0 |
22 |
29,0<=x<34,0 |
27 |
34,0<=x<39,0 |
8 |
39,0<=x<44,0 |
1 |
44,0<=x<49,0 |
1 |
Итого |
100 |
Вариант № 10.
Интервал значений |
Частота |
8,0<=x<13,0 |
2 |
13,0<=x<18,0 |
4 |
18,0<=x<23,0 |
14 |
23,0<=x<28,0 |
17 |
28,0<=x<33,0 |
28 |
33,0<=x<38,0 |
16 |
38,0<=x<43,0 |
11 |
43,0<=x<48,0 |
5 |
48,0<=x<53,0 |
3 |
Итого |
100 |
Вариант № 11.
Интервал значений |
Частота |
40<=x<50 |
2 |
50<=x<60 |
4 |
60<=x<70 |
7 |
70<=x<80 |
10 |
80<=x<90 |
15 |
90<=x<100 |
20 |
100<=x<110 |
22 |
110<=x<120 |
11 |
120<=x<130 |
6 |
130<=x<140 |
3 |
Итого |
100 |
Вариант № 12.
Интервал значений |
Частота |
80<=x<90 |
1 |
90<=x<100 |
5 |
100<=x<110 |
8 |
110<=x<120 |
9 |
120<=x<130 |
13 |
130<=x<140 |
22 |
140<=x<150 |
20 |
150<=x<160 |
12 |
160<=x<170 |
8 |
170<=x<180 |
2 |
Итого |
100 |
Вариант № 13.
Интервал значений |
Частота |
0<=x<2 |
4 |
2<=x<4 |
9 |
4<=x<6 |
12 |
6<=x<8 |
22 |
8<=x<10 |
19 |
10<=x<12 |
16 |
12<=x<14 |
11 |
14<=x<16 |
7 |
Итого |
100 |
Вариант № 14.
Интервал значений |
Частота |
2,2<=x<5,4 |
3 |
5,4<=x<8,6 |
5 |
8,6<=x<11,8 |
9 |
11,8<=x<15 |
10 |
15<=x<18,2 |
12 |
18,2<=x<21,4 |
13 |
21,4<=x<24,6 |
18 |
24,6<=x<27,8 |
17 |
27,8<=x<31 |
11 |
31<=x<34,2 |
8 |
34,2<=x<37,4 |
4 |
Итого |
110 |
Вариант № 15.
Интервал значений |
Частота |
0<=x<28 |
2 |
28<=x<113 |
5 |
113<=x<198 |
11 |
198<=x<283 |
12 |
283<=x<368 |
15 |
368<=x<453 |
9 |
453<=x<538 |
9 |
538<=x<623 |
6 |
623<=x<708 |
1 |
Итого |
70 |
Вариант № 16.
Интервал значений |
Частота |
1<=x<5 |
2 |
5<=x<9 |
5 |
9<=x<13 |
9 |
13<=x<17 |
15 |
17<=x<21 |
18 |
21<=x<25 |
17 |
25<=x<29 |
14 |
29<=x<33 |
11 |
33<=x<37 |
7 |
37<=x<41 |
2 |
Итого |
100 |
Вариант № 17.
Интервал значений |
Частота |
1,5<=x<4,5 |
1 |
4,5<=x<7,5 |
5 |
7,5<=x<10,5 |
8 |
10,5<=x<13,5 |
12 |
13,5<=x<16,5 |
16 |
16,5<=x<19,5 |
18 |
19,5<=x<22,5 |
15 |
22,5<=x<25,5 |
12 |
25,5<=x<28,5 |
9 |
28,5<=x<31,5 |
4 |
Итого |
100 |
Вариант № 18.
Интервал значений |
Частота |
1<=x<3 |
4 |
3<=x<5 |
7 |
5<=x<7 |
11 |
7<=x<9 |
18 |
9<=x<11 |
20 |
11<=x<13 |
22 |
13<=x<15 |
19 |
15<=x<17 |
13 |
17<=x<19 |
10 |
19<=x<21 |
6 |
Итого |
130 |
Вариант № 19.
Интервал значений |
Частота |
1<=x<3 |
4 |
3<=x<5 |
7 |
5<=x<7 |
11 |
7<=x<9 |
18 |
9<=x<11 |
20 |
11<=x<13 |
22 |
13<=x<15 |
19 |
15<=x<17 |
13 |
17<=x<19 |
10 |
19<=x<21 |
6 |
Итого |
130 |
Вариант № 20.
Интервал значений |
Частота |
0,7<=x<1,2 |
3 |
1,2<=x<1,7 |
8 |
1,7<=x<2,2 |
13 |
2,2<=x<2,7 |
18 |
2,7<=x<3,2 |
23 |
3,2<=x<3,7 |
21 |
3,7<=x<4,2 |
16 |
4,2<=x<4,7 |
11 |
5,2<=x<5,7 |
7 |
Итого |
120 |
Вариант № 21.
Интервал значений |
Частота |
11<=x<13 |
6 |
13<=x<15 |
10 |
15<=x<17 |
15 |
17<=x<19 |
19 |
19<=x<21 |
22 |
21<=x<23 |
23 |
23<=x<25 |
18 |
25<=x<27 |
13 |
27<=x<29 |
9 |
29<=x<31 |
5 |
Итого |
140 |
Вариант № 22.
Интервал значений |
Частота |
1,2<=x<4,4 |
4 |
4,4<=x<7,6 |
7 |
7,6<=x<10,8 |
10 |
10,8<=x<14 |
14 |
14<=x<17,2 |
17 |
17,2<=x<20,4 |
18 |
20,4<=x<23,6 |
17 |
23,6<=x<26,8 |
14 |
26,8<=x<30 |
12 |
30<=x<33,2 |
7 |
Итого |
120 |
Вариант № 23.
Интервал значений |
Частота |
3,0<=x<6,2 |
4 |
6,2<=x<9,4 |
3 |
9,4<=x<12,6 |
9 |
12,6<=x<15,8 |
17 |
15,8<=x<19,0 |
20 |
19,0<=x<22,2 |
23 |
22,2<=x<25,4 |
16 |
25,4<=x<28,6 |
7 |
28,6<=x<31,8 |
1 |
Итого |
100 |
Вариант № 24.
Интервал значений |
Частота |
8,5<=x<11,0 |
2 |
11,0<=x<13,5 |
8 |
13,5<=x<16,0 |
13 |
16,0<=x<18,5 |
16 |
18,5<=x<21,0 |
26 |
21,0<=x<23,5 |
22 |
23,5<=x<26,0 |
19 |
26,0<=x<28,5 |
10 |
28,5<=x<31,0 |
4 |
Итого |
120 |
Вариант № 25.
Интервал значений |
Частота |
1,7<=x<3,4 |
6 |
3,4<=x<5,1 |
8 |
5,1<=x<6,8 |
15 |
6,8<=x<8,5 |
23 |
8,5<=x<10,2 |
23 |
10,2<=x<11,9 |
19 |
11,9<=x<13,6 |
17 |
13,6<=x<15,3 |
11 |
15,3<=x<17,0 |
8 |
Итого |
130 |
3. Дисперсионный анализ
Дисперсионный анализ используется в практике статистических исследований с целью выявления влияния на изучаемый показатель различных факторов, обычно не поддающихся количественному измерению. В качестве простого примера, приводящего к задаче дисперсионного анализа можно привести следующий пример. Пусть руководству некоторой торговой компании необходимо оценить эффективность работы ряда филиалов, расположенных в различных районах города. В данном случае требуется оценить влияние на реализацию продукции такого фактора, как расположение филиала. В целях упрощения будем считать, что в данных районах проживает одинаковое количество людей, средняя заработная плата одинакова, каждый филиал проводит одну и ту же маркетинговую политику и т. д. Иными словами мы говорим о том, что влияние всех остальных факторов в данном случае остается неизменным.
Сущность дисперсионного анализа состоит в разложении общей дисперсии результирующего показателя на части, которые обусловлены влиянием изучаемого фактора и всех остальных, не учитываемых факторов.
В зависимости от количества исследуемых факторов модели дисперсионного анализа принято подразделять на одно-, двух-, …, многофакторные.
Однофакторный дисперсионный анализ.
В данном случае рассматривается
простейший случай проверки влияния
только одного фактора. Постановка
задачи однофакторного дисперсионного
анализа: пусть нами наблюдается
независимых нормально распределенных
случайных величин
,
,
…,
(возвращаясь
к вышеописанному примеру, в качестве
данных случайных величин рассматриваются
объемы реализации соответственно в
первом, втором, …,
- ом филиале). Предполагается, что все
они имеют одно и то же среднеквадратическое
отклонение
и в общем случае различные математические
ожидания
,
,
…,
.
Пусть над каждой из этих величин
проводится серия из
наблюдений, в результате которой для
каждой из этих случайных величин
получены следующие данные:
. (3.1)
Опираясь на эти данные необходимо проверить статистическую гипотезу:
,
(3.2)
при альтернативной гипотезе:
. (3.3)
Если проверяемая гипотеза верна, то
это будет говорить о том, что выбранный
для исследования фактор не оказывает
существенного влияния на результирующий
показатель. В противном случае, если
отвергается, то можно считать, влияние
данного фактора установленным. Очевидно,
что до проверки нулевой гипотезы (3.2)
необходимо проверить гипотезу о
равенстве среднеквадратических
отклонений:
, (3.4)
при альтернативной гипотезе:
. 5 (3.5)
Для осуществления дальнейших выкладок данные, собранные в результате исследований, сведем в таблицу 3.1.
Таблица 3.1
Исходные данные для проведения дисперсионного анализа.
№ магазина |
Объемы реализации |
|
||||
1 |
2 |
3 |
…. |
|
||
1 |
|
|
|
…. |
|
|
2 |
|
|
|
…. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…. |
|
|
Введем следующие обозначения:
- среднее арифметическое из
наблюдений над с.в.
;
- среднее арифметическое из
наблюдений над с.в.
;
…………………………………………………………………………………..;
- среднее арифметическое из
наблюдений над с.в.
;
- среднее арифметическое всей системы
из
наблюдений (общее среднее арифметическое).
Проверка
гипотезы
основывается на выполнении следующего
соотношения, называемого основным
тождеством дисперсионного анализа:
, (3.6)
т. е. равенстве суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений от среднего арифметического по всей системе наблюдений двум слагаемым:
сумме квадратов отклонений групповых средних от общего среднего арифметического (первое слагаемое в (3.6));
сумме квадратов отклонений наблюдаемых значений от групповых средних (второе слагаемое в (3.6)).
Введем следующие обозначения:
;
(3.7)
; (3.8)
. (3.9)
Тогда соотношение (3.6) можно переписать в следующем виде:
. (3.10)
Так
как выражение (3.7) является показателем,
характеризующим вариацию индивидуальных
значений признака в исследуемой
совокупности, то видно, что вся вариация
может быть разложена на две составляющие.
Составляющая
– отражает влияние на формирование
значений результирующего признака
исследуемого фактора, составляющая
– отражает влияние на формирование
значений результирующего признака
всех остальных неучтенных факторов.
Для выяснения значимости влияния выбранного фактора формирование значений результирующего признака рассчитывается величина (критерий Фишера):
, (3.11)
которая
при выполнении предположений о нормальном
распределении величин
,
…,
будет подчиняться распределению Фишера
с
степенями свободы. Критические границы
распределения Фишера приведены в
приложении 3. Если расчетное значение
величины
больше критической границы распределения
Фишера с
степенями свободы при уровне значимости
,
т. е.:
, (3.12)
то говорят, что нулевая гипотеза (3.2) отвергается и считается, что исследуемый фактор существенно влияет на изменение значений результирующего показателя. Степень влияния исследуемого фактора определяется показателем, который называется коэффициентом детерминации и рассчитывается по следующей формуле:
. (3.13)
Значение данного показателя говорит о том, какая доля вариации (в процентах) результирующего показателя объясняется влиянием исследуемого фактора.
В случае не выполнения условия (3.12) гипотеза (3.2) принимается и считается, что влияние исследуемого фактора на изменение значений результирующего признака не значимо.
Рассмотрим в качестве примера следующую задачу. Пусть в четырех торговых точках применяются различные способы рекламирования одного и того же товара. Предполагается методами дисперсионного анализа на уровне значимости выяснить, существенно ли влияние такого фактора, как способ рекламы на изменение значений объемов реализации этого товара. Данные об объемах реализации товара (в денежном выражении по дням недели) приведены в таблице 3.2.
Таблица 3.2
Исходные данные для проведения дисперсионного анализа
|
Объемы реализации, т. руб. |
||||
Пн. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
||
Способ рекламы |
1 |
14 |
15 |
14,8 |
15 |
2 |
14,4 |
14,9 |
14,9 |
15,5 |
|
3 |
14,2 |
15,2 |
14,6 |
15,4 |
|
4 |
14,5 |
15 |
14,7 |
15,2 |
|
Для проведения процедуры дисперсионного анализа составим вспомогательную таблицу 3.3, содержание которой понятно без дополнительных пояснений.
Таблица 3.3
Вспомогательная таблица для проведения однофакторного дисперсионного анализа
|
Объемы реализации, т. руб. (j) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Способ рекламы (i) |
1 |
14 |
196 |
15 |
225 |
14,8 |
219 |
15 |
225 |
58,8 |
3457,4 |
865 |
2 |
14,4 |
207,4 |
14,9 |
222 |
14,9 |
222 |
15,5 |
240,3 |
59,7 |
3564,1 |
891,7 |
|
3 |
14,2 |
201,6 |
15,2 |
231 |
14,6 |
213,2 |
15,4 |
237,2 |
59,4 |
3528,4 |
883 |
|
4 |
14,5 |
210,3 |
15 |
225 |
14,7 |
216,1 |
15,2 |
231 |
59,4 |
3528,4 |
882,4 |
|
|
57,1 |
815,3 |
60,1 |
903 |
59 |
870,3 |
61,1 |
933,5 |
237,3 |
14078,3 |
3522,1 |
|
С
использованием данных таблицы 3.3 и
соотношения:
определяем выборочные дисперсии в
каждой
- й группе:
;
;
;
.
Проверим гипотезу о равенстве дисперсий (3.4). Для этого рассчитываем критерий Кочрена:
,
и
сравниваем полученное значение со
значением критической границы
распределения Кочрена при
(четыре выборки) и при
(
- объем каждой из выборок)
(Приложение 5). Т. к.
то гипотезу о равенстве дисперсий в
генеральной совокупности можно принять
и приступать к проверке основной
гипотезы дисперсионного анализа (3.2).
Для этого рассчитаем компоненты
,
,
.
Для упрощения вычислений формулы (3.7 –
3.9) перепишем в следующем, более удобном
виде:
;
(3.14)
; (3.15)
. (3.16)
С учетом формул (3.14 – 3.16) и данных таблицы 3.3 имеем:
,
,
.
Проверкой убеждаемся, что соотношения (3.6, 3.10) выполняются, следовательно, все расчеты выполнены верно. По формуле (3.11) определим расчетное значение критерия Фишера:
.
По
таблице приложения 4 найдем критическую
границу распределения Фишера при (3;
12) степенях свободы и уровне значимости
-
.
Так как соотношение (3.12) не выполняется
и
,
то можно нулевую гипотезу (3.2) принять
и считать, что выбранный для анализа
фактор (способ рекламы) не оказывает
статистически значимого влияния на
формирование значений объемов реализации
товара.
В случае, когда на формирование значений результирующего признака оказывают влияние два или более факторов, процедура дисперсионного анализа для оценки степени такого влияния аналогична рассмотренной и основана на разложении суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений от общего среднего арифметического на компоненты, отражающие влияние выбранных для анализа факторов и компоненты, отражающие влияние всех остальных, неучтенных факторов.
Рассмотрим
процедуру многофакторного дисперсионного
анализа на примере двухфакторного
анализа. Предположим, что в статистической
совокупности, рассмотренной в предыдущем
примере, изменения объемов продаж
товара обусловлены влиянием двух
факторов: различием способов рекламы
(фактор А) и различиями между продавцами
этого товара (фактор В). Предположим,
что по признаку А результаты наблюдений
могут разбиты на
групп а по признаку В на
групп. Таким образом, общее количество
групп равно
.
Далее для простоты будем считать, что
в каждой группе у нас находится по
одному наблюдению и, следовательно,
общее число наблюдений
.
Тогда данные наблюдений могут быть
представлены в виде таблицы 3.4.
Таблица 3.4 - Общий вид таблицы исходных данных для проведения двухфакторного дисперсионного анализа
|
Группы наблюдений по фактору В, |
|
|||||
1 |
2 |
3 |
…. |
|
|||
Группы наблюдений по фактору А, i =1,…m |
1 |
|
|
|
…. |
|
|
|
|
|
|
…. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…. |
|
|
|
|
|
|
|
…. |
|
|
|
В таблице 3.4 обозначено:
; (3.17)
; (3.18)
. (3.19)
Основное тождество дисперсионного анализа в данном случае имеет вид:
. (3.20)
Введем обозначения:
;
(3.21)
; (3.22)
; (3.23)
. (3.24)
Тогда выражение (3.20) можно переписать в более компактном виде:
(3.25)
В
данном выражении величина
представляет собой всю вариацию значений
исследуемого признака, величина
представляет долю вариации, обусловленную
влиянием фактора А, величина
представляет долю вариации, обусловленную
влиянием фактора В, величина
представляет долю вариации, обусловленную
влиянием всех остальных неучтенных
факторов.
Значимость влияния факторов А и B устанавливают рассчитывая следующие величины:
; (3.26)
. (3.27)
Величина
подчиняется распределению Фишера с
степенями свободы, величина
подчиняется распределению Фишера с
степенями свободы и, следовательно,
если
или
больше критических границ соответствующих
распределений при выбранном уровне
значимости
:
; (3.28)
, (3.29)
то гипотезу о равенстве центров распределений необходимо отвергнуть и считать, что соответствующий фактор значимо влияет на исследуемый признак6.
При выполнении соотношений (3.28) или (3.29) величины:
; (3.30)
(3.31)
показывают какая доля вариации исследуемого признака объясняется влиянием соответствующего фактора.
В качестве примера решим задачу, по данным задачи предыдущего пункта считая, что вариация значений объемов продаж обусловлена влиянием двух факторов: различиями в способе рекламирования товара и различиями между продавцами. Таблица для проведения дисперсионного анализа имеет следующий вид (таблица 3.5):
Таблица
3.5 - Вспомогательная таблица для
проведения двухфакторного дисперсионного
анализа (
- объемы реализации, тыс. рублей/день)
|
Продавцы (j) фактор В |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Способ рекламы (i) фактор А |
1 |
14 |
196 |
15 |
225 |
14,8 |
219 |
15 |
225 |
58,8 |
3457,4 |
865 |
2 |
14,4 |
207,4 |
14,9 |
222 |
14,9 |
222 |
15,5 |
240,3 |
59,7 |
3564,1 |
891,7 |
|
3 |
14,2 |
201,6 |
15,2 |
231 |
14,6 |
213,2 |
15,4 |
237,2 |
59,4 |
3528,4 |
883 |
|
4 |
14,5 |
210,3 |
15 |
225 |
14,7 |
216,1 |
15,2 |
231 |
59,4 |
3528,4 |
882,4 |
|
|
57,1 |
|
60,1 |
|
59 |
|
61,1 |
|
237,3 |
|
|
|
|
3260,4 |
|
3612,01 |
|
3481 |
|
3733,2 |
|
|
14078,3
14086,6 |
|
|
|
|
815,3 |
|
903 |
|
870,3 |
|
933,5 |
|
|
3522,1 |
|
С
использованием данных таблицы 3.5 и
соотношения:
определяем выборочные дисперсии в
каждой
- й группе:
,
,
,
.
Проверим гипотезу о равенстве дисперсий в группах по фактору В. Для этого рассчитываем критерий Кочрена:
,
и сравниваем полученное значение со значением критической границы распределения Кочрена (Приложение 5). Т. к. то гипотезу о равенстве дисперсий в генеральной совокупности можно принять и приступать к проверке основной гипотезы дисперсионного анализа. Рассчитаем значения сумм , , (значений суммы было рассчитано в предыдущем примере). Для практических расчетов формулы 3.22 – 3.24 можно переписать в следующем, более удобном для расчетов, виде:
; (3.32)
; (3.33)
.
(3.34)
С учетом формул (3.32 – 3.34) и данных таблицы 9 имеем:
, ,
,
Основное тождество дисперсионного анализа (3.25) выполняется, следовательно, расчеты выполнены верно. По формулам (3.26 – 2.27) рассчитаем значения критерия Фишера:
,
По
таблице приложения 4 найдем критическую
границу распределения Фишера при (3; 9)
степенях свободы и уровне значимости
-
.
Т.к. соотношения (3.28) не выполняется, а
соотношение (3.29) выполняется, то можно
считать, что фактор В значимо влияет
на исследуемый признак и влиянием
данного фактора объясняется (3.31)
вариации исследуемого признака. Иными
словами, наиболее существенное влияние
на объем реализации товара оказывают
индивидуальные различия между продавцами.
Варианты индивидуальных заданий к теме "Дисперсионный анализ"
Для своего варианта исходных данных об объемах продаж в пяти магазинах, расположенных в различных районах города методами дисперсионного анализа оценить влияние на объем продаж таких факторов как расположение магазина и день недели. При проверке необходимых гипотез принимать уровень значимости равным: .
Исходные данные для выполнения задания №3
Вариант №1.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
40,000 |
42,000 |
41,000 |
39,000 |
44,000 |
37,000 |
51,000 |
2 |
35,000 |
46,000 |
50,000 |
39,000 |
46,000 |
48,000 |
34,000 |
3 |
37,000 |
47,000 |
42,000 |
47,000 |
48,000 |
48,000 |
50,000 |
4 |
49,000 |
52,000 |
40,000 |
46,000 |
45,000 |
38,000 |
47,000 |
5 |
43,000 |
55,000 |
44,000 |
51,000 |
49,000 |
43,000 |
37,000 |
Вариант №2.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
40,000 |
35,000 |
43,000 |
43,000 |
48,000 |
43,000 |
37,000 |
2 |
44,000 |
37,000 |
42,000 |
42,000 |
42,000 |
40,000 |
47,000 |
3 |
35,000 |
46,000 |
48,000 |
48,000 |
47,000 |
44,000 |
47,000 |
4 |
49,000 |
45,000 |
44,000 |
45,000 |
39,000 |
45,000 |
47,000 |
5 |
50,000 |
55,000 |
46,000 |
51,000 |
52,000 |
53,000 |
43,000 |
Вариант №3.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
41,000 |
41,000 |
35,000 |
36,000 |
45,000 |
39,000 |
42,000 |
2 |
42,000 |
39,000 |
39,000 |
44,000 |
37,000 |
46,000 |
45,000 |
3 |
40,000 |
43,000 |
38,000 |
33,000 |
49,000 |
41,000 |
46,000 |
4 |
47,000 |
46,000 |
41,000 |
41,000 |
44,000 |
40,000 |
41,000 |
5 |
55,000 |
48,000 |
42,000 |
48,000 |
42,000 |
41,000 |
47,000 |
Вариант №4.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
45,000 |
41,000 |
43,000 |
34,000 |
38,000 |
39,000 |
34,000 |
2 |
35,000 |
47,000 |
42,000 |
39,000 |
46,000 |
43,000 |
37,000 |
3 |
51,000 |
45,000 |
51,000 |
50,000 |
41,000 |
38,000 |
44,000 |
4 |
44,000 |
42,000 |
48,000 |
53,000 |
43,000 |
42,000 |
45,000 |
5 |
51,000 |
44,000 |
42,000 |
47,000 |
48,000 |
50,000 |
45,000 |
Вариант №5.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
39,000 |
38,000 |
40,000 |
48,000 |
37,000 |
33,000 |
42,000 |
2 |
37,000 |
42,000 |
39,000 |
45,000 |
45,000 |
41,000 |
32,000 |
3 |
45,000 |
52,000 |
49,000 |
36,000 |
44,000 |
41,000 |
39,000 |
4 |
40,000 |
47,000 |
44,000 |
46,000 |
44,000 |
44,000 |
48,000 |
5 |
52,000 |
59,000 |
41,000 |
43,000 |
53,000 |
46,000 |
41,000 |
Вариант №6.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
53,000 |
66,000 |
57,000 |
70,000 |
55,000 |
69,000 |
47,000 |
2 |
41,000 |
50,000 |
64,000 |
41,000 |
58,000 |
46,000 |
58,000 |
3 |
43,000 |
55,000 |
34,000 |
49,000 |
59,000 |
51,000 |
66,000 |
4 |
50,000 |
33,000 |
44,000 |
67,000 |
55,000 |
60,000 |
65,000 |
5 |
37,000 |
52,000 |
51,000 |
48,000 |
56,000 |
73,000 |
58,000 |
Вариант №7.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
62,000 |
43,000 |
50,000 |
42,000 |
56,000 |
47,000 |
55,000 |
2 |
59,000 |
51,000 |
61,000 |
75,000 |
57,000 |
52,000 |
61,000 |
3 |
55,000 |
43,000 |
59,000 |
54,000 |
51,000 |
67,000 |
73,000 |
4 |
51,000 |
57,000 |
48,000 |
63,000 |
32,000 |
66,000 |
58,000 |
5 |
61,000 |
70,000 |
55,000 |
57,000 |
45,000 |
41,000 |
51,000 |
Вариант №8.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
53,000 |
45,000 |
37,000 |
61,000 |
43,000 |
50,000 |
50,000 |
2 |
50,000 |
56,000 |
49,000 |
35,000 |
42,000 |
54,000 |
39,000 |
3 |
51,000 |
45,000 |
42,000 |
44,000 |
50,000 |
56,000 |
53,000 |
4 |
67,000 |
54,000 |
41,000 |
56,000 |
57,000 |
59,000 |
61,000 |
5 |
71,000 |
53,000 |
61,000 |
58,000 |
52,000 |
79,000 |
55,000 |
Вариант №9.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
36,000 |
68,000 |
53,000 |
39,000 |
56,000 |
63,000 |
41,000 |
2 |
53,000 |
51,000 |
40,000 |
64,000 |
52,000 |
57,000 |
45,000 |
3 |
47,000 |
57,000 |
55,000 |
72,000 |
51,000 |
76,000 |
69,000 |
4 |
37,000 |
39,000 |
50,000 |
54,000 |
56,000 |
64,000 |
49,000 |
5 |
51,000 |
56,000 |
58,000 |
61,000 |
69,000 |
64,000 |
40,000 |
Вариант №10.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
57,000 |
58,000 |
56,000 |
63,000 |
53,000 |
43,000 |
49,000 |
2 |
28,000 |
57,000 |
53,000 |
46,000 |
45,000 |
41,000 |
52,000 |
3 |
58,000 |
51,000 |
49,000 |
54,000 |
52,000 |
44,000 |
67,000 |
4 |
60,000 |
69,000 |
51,000 |
45,000 |
64,000 |
56,000 |
48,000 |
5 |
57,000 |
38,000 |
69,000 |
48,000 |
51,000 |
71,000 |
49,000 |
Вариант № 11
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
35,000 |
46,000 |
50,000 |
39,000 |
46,000 |
48,000 |
34,000 |
2 |
37,000 |
47,000 |
42,000 |
47,000 |
48,000 |
48,000 |
50,000 |
3 |
44,000 |
37,000 |
42,000 |
42,000 |
42,000 |
40,000 |
47,000 |
4 |
49,000 |
52,000 |
40,000 |
46,000 |
45,000 |
38,000 |
47,000 |
5 |
43,000 |
55,000 |
44,000 |
51,000 |
49,000 |
43,000 |
37,000 |
Вариант № 12.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
40,000 |
35,000 |
43,000 |
43,000 |
48,000 |
43,000 |
37,000 |
2 |
44,000 |
37,000 |
42,000 |
42,000 |
42,000 |
40,000 |
47,000 |
3 |
43,000 |
55,000 |
44,000 |
51,000 |
49,000 |
43,000 |
37,000 |
4 |
49,000 |
45,000 |
44,000 |
45,000 |
39,000 |
45,000 |
47,000 |
5 |
50,000 |
55,000 |
46,000 |
51,000 |
52,000 |
53,000 |
43,000 |
Вариант № 13.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
40,000 |
35,000 |
43,000 |
43,000 |
48,000 |
43,000 |
37,000 |
2 |
44,000 |
37,000 |
42,000 |
42,000 |
42,000 |
40,000 |
47,000 |
3 |
42,000 |
39,000 |
39,000 |
44,000 |
37,000 |
46,000 |
45,000 |
4 |
49,000 |
45,000 |
44,000 |
45,000 |
39,000 |
45,000 |
47,000 |
5 |
47,000 |
46,000 |
41,000 |
41,000 |
44,000 |
40,000 |
41,000 |
Вариант № 14.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
45,000 |
41,000 |
43,000 |
34,000 |
38,000 |
39,000 |
34,000 |
2 |
42,000 |
39,000 |
39,000 |
44,000 |
37,000 |
46,000 |
45,000 |
3 |
44,000 |
42,000 |
48,000 |
53,000 |
43,000 |
42,000 |
45,000 |
4 |
47,000 |
46,000 |
41,000 |
41,000 |
44,000 |
40,000 |
41,000 |
5 |
51,000 |
44,000 |
42,000 |
47,000 |
48,000 |
50,000 |
45,000 |
Вариант № 15.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
37,000 |
42,000 |
39,000 |
45,000 |
45,000 |
41,000 |
32,000 |
2 |
35,000 |
47,000 |
42,000 |
39,000 |
46,000 |
43,000 |
37,000 |
3 |
52,000 |
59,000 |
41,000 |
43,000 |
53,000 |
46,000 |
41,000 |
4 |
44,000 |
42,000 |
48,000 |
53,000 |
43,000 |
42,000 |
45,000 |
5 |
45,000 |
52,000 |
49,000 |
36,000 |
44,000 |
41,000 |
39,000 |
Вариант № 16.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
39,000 |
38,000 |
40,000 |
48,000 |
37,000 |
33,000 |
42,000 |
2 |
37,000 |
52,000 |
51,000 |
48,000 |
56,000 |
73,000 |
58,000 |
3 |
45,000 |
52,000 |
49,000 |
36,000 |
44,000 |
41,000 |
39,000 |
4 |
43,000 |
55,000 |
34,000 |
49,000 |
59,000 |
51,000 |
66,000 |
5 |
52,000 |
59,000 |
41,000 |
43,000 |
53,000 |
46,000 |
41,000 |
Вариант № 17.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
53,000 |
66,000 |
57,000 |
70,000 |
55,000 |
69,000 |
47,000 |
2 |
55,000 |
43,000 |
59,000 |
54,000 |
51,000 |
67,000 |
73,000 |
3 |
43,000 |
55,000 |
34,000 |
49,000 |
59,000 |
51,000 |
66,000 |
4 |
50,000 |
33,000 |
44,000 |
67,000 |
55,000 |
60,000 |
65,000 |
5 |
62,000 |
43,000 |
50,000 |
42,000 |
56,000 |
47,000 |
55,000 |
Вариант № 18.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
62,000 |
43,000 |
50,000 |
42,000 |
56,000 |
47,000 |
55,000 |
2 |
53,000 |
45,000 |
37,000 |
61,000 |
43,000 |
50,000 |
50,000 |
3 |
55,000 |
43,000 |
59,000 |
54,000 |
51,000 |
67,000 |
73,000 |
4 |
67,000 |
54,000 |
41,000 |
56,000 |
57,000 |
59,000 |
61,000 |
5 |
61,000 |
70,000 |
55,000 |
57,000 |
45,000 |
41,000 |
51,000 |
Вариант № 19.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
37,000 |
39,000 |
50,000 |
54,000 |
56,000 |
64,000 |
49,000 |
2 |
50,000 |
56,000 |
49,000 |
35,000 |
42,000 |
54,000 |
39,000 |
3 |
51,000 |
45,000 |
42,000 |
44,000 |
50,000 |
56,000 |
53,000 |
4 |
47,000 |
57,000 |
55,000 |
72,000 |
51,000 |
76,000 |
69,000 |
5 |
53,000 |
51,000 |
40,000 |
64,000 |
52,000 |
57,000 |
45,000 |
Вариант № 20.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
36,000 |
68,000 |
53,000 |
39,000 |
56,000 |
63,000 |
41,000 |
2 |
57,000 |
58,000 |
56,000 |
63,000 |
53,000 |
43,000 |
49,000 |
3 |
47,000 |
57,000 |
55,000 |
72,000 |
51,000 |
76,000 |
69,000 |
4 |
37,000 |
39,000 |
50,000 |
54,000 |
56,000 |
64,000 |
49,000 |
5 |
28,000 |
57,000 |
53,000 |
46,000 |
45,000 |
41,000 |
52,000 |
Вариант № 21.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
37,000 |
47,000 |
42,000 |
47,000 |
48,000 |
48,000 |
50,000 |
2 |
28,000 |
57,000 |
53,000 |
46,000 |
45,000 |
41,000 |
52,000 |
3 |
43,000 |
55,000 |
44,000 |
51,000 |
49,000 |
43,000 |
37,000 |
4 |
49,000 |
52,000 |
40,000 |
46,000 |
45,000 |
38,000 |
47,000 |
5 |
57,000 |
38,000 |
69,000 |
48,000 |
51,000 |
71,000 |
49,000 |
Вариант № 22
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
40,000 |
35,000 |
43,000 |
43,000 |
48,000 |
43,000 |
37,000 |
2 |
37,000 |
47,000 |
42,000 |
47,000 |
48,000 |
48,000 |
50,000 |
3 |
43,000 |
55,000 |
44,000 |
51,000 |
49,000 |
43,000 |
37,000 |
4 |
50,000 |
55,000 |
46,000 |
51,000 |
52,000 |
53,000 |
43,000 |
5 |
36,000 |
68,000 |
53,000 |
39,000 |
56,000 |
63,000 |
41,000 |
Вариант № 23.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
47,000 |
46,000 |
41,000 |
41,000 |
44,000 |
40,000 |
41,000 |
2 |
44,000 |
37,000 |
42,000 |
42,000 |
42,000 |
40,000 |
47,000 |
3 |
43,000 |
55,000 |
44,000 |
51,000 |
49,000 |
43,000 |
37,000 |
4 |
42,000 |
39,000 |
39,000 |
44,000 |
37,000 |
46,000 |
45,000 |
5 |
37,000 |
47,000 |
42,000 |
47,000 |
48,000 |
48,000 |
50,000 |
Вариант № 24.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
40,000 |
35,000 |
43,000 |
43,000 |
48,000 |
43,000 |
37,000 |
2 |
44,000 |
37,000 |
42,000 |
42,000 |
42,000 |
40,000 |
47,000 |
3 |
51,000 |
44,000 |
42,000 |
47,000 |
48,000 |
50,000 |
45,000 |
4 |
49,000 |
45,000 |
44,000 |
45,000 |
39,000 |
45,000 |
47,000 |
5 |
45,000 |
41,000 |
43,000 |
34,000 |
38,000 |
39,000 |
34,000 |
Вариант № 25.
Номер магазина |
Объем продаж по дням недели, тыс. руб. |
||||||
Пон. |
Вт. |
Ср. |
Чт. |
Пт. |
Суб. |
Вс. |
|
1 |
52,000 |
59,000 |
41,000 |
43,000 |
53,000 |
46,000 |
41,000 |
2 |
37,000 |
42,000 |
39,000 |
45,000 |
45,000 |
41,000 |
32,000 |
3 |
44,000 |
42,000 |
48,000 |
53,000 |
43,000 |
42,000 |
45,000 |
4 |
47,000 |
46,000 |
41,000 |
41,000 |
44,000 |
40,000 |
41,000 |
5 |
43,000 |
55,000 |
34,000 |
49,000 |
59,000 |
51,000 |
66,000 |
4. Анализ Парной корреляции
Анализ парной корреляции проводят, используя методы корреляционного и регрессионного анализа. Корреляционный и регрессионный анализ являются смежными разделами статистики и предназначены для изучения по выборочным данным статистической связи между различными случайными величинами.
В общем случае между какими-либо величинами принято выделять два типа связей:
функциональные или детерминированные связи – когда каждой комбинации значений независимых переменных (факторных признаков) поставлено в соответствие единственное значение зависимой переменной (результирующего признака). Примером такой связи может являться зависимость размера заработной платы от выработки при сдельной форме оплаты труда;
статистические (корреляционные7 или стохастические) связи – когда каждой комбинации значений факторных признаков могут соответствовать различные значений результирующего признака и наоборот, одному значению результирующего признака могут соответствовать различные комбинации значений факторных признаков.
В случае корреляционной связи говорят, что при изменении значений факторных признаков результирующий признак реагирует изменением своего закона распределения.
При исследовании корреляционных связей необходимо решать следующие задачи:
установление факта наличия корреляционной связи, определение ее формы;
количественная характеристика степени (силы) связи;
формализация (построение математической модели) корреляционной связи методами регрессионного анализа;
оценка адекватности построенной модели и ее использование для решения задачи научного обоснования прогноза изменений результирующего признака при изменении значений факторных признаков.
Ниже рассматривается
процедура решения описанных задач на
примере анализа корреляционной связи
для случая двух переменных (анализ
парной корреляции). В таблице 4.1 приведены
статистические данные о величине
личного располагаемого дохода (факторный
признак -
)
и величине потребительского расхода
на оплату медицинских услуг (результирующий
признак -
)
в США в период с 1964 по 1983 гг.8
Все данные приведены в миллиардах
долларов США. Анализ парной корреляции
по выборочным данным обычно начинают
с графического изображения данных с
помощью корреляционного поля (рисунок
4.1). Корреляционное поле представляет
собой диаграмму, на которой отмечены
точки с координатами
.
При построении корреляционного поля
единицы измерения оси абсцисс и оси
ординат желательно выбирать таким
образом, чтобы диаграмма имела вид
квадрата.
Вытянутость облака точек вдоль одной из диагоналей квадрата позволит предположить наличие корреляционной связи. В рассматриваемом примере облако точек расположено вдоль диагонали, проходящей из левого нижнего в правый верхний угол диаграммы. Данный факт позволяет предположить, что между величиной личного дохода и величиной факторного расхода существует прямая корреляционная связь.
Такой же вывод может быть сделан на основе анализа корреляционной таблицы 4.2, построенной путем группирования исходных данных по четырем интервалам значений по и четырем интервалам значений по .
Таблица 4.1
Исходные данные для проведения корреляционно-регрессионного анализа
Год
|
Личный доход -
|
Расходы на мед.
услуги -
|
Год |
Личный доход - |
Расходы на мед. услуги - |
1964 |
658,0 |
11,9 |
1974 |
1004,8 |
17,6 |
1965 |
700,4 |
12,1 |
1975 |
1010,8 |
17,9 |
1966 |
740,6 |
12,1 |
1976 |
1056,2 |
18,0 |
1967 |
774,4 |
12,5 |
1977 |
1105,4 |
19,2 |
1968 |
816,2 |
12,8 |
1978 |
1162,3 |
18,6 |
1969 |
853,5 |
13,6 |
1979 |
1200,7 |
20,1 |
1970 |
876,8 |
14,4 |
1980 |
1209,5 |
21,5 |
1971 |
900,0 |
14,8 |
1981 |
1248,6 |
22,0 |
1972 |
951,4 |
15,7 |
1982 |
1254,4 |
22,4 |
1973 |
1007,9 |
16,9 |
1983 |
1284,6 |
23,3 |
Количество групп k
приближенно можно определить исходя
из объема наблюдений. При
можно принять от 4 до 6 групп, при
– от 6 до 8 групп. Ширина интервалов по
и
при этом определяется из соотношений
,
,
где
и
- размах вариации значений
и
соответственно. Для данных, представленных
в таблице 4.1,
и
,
,
(округления проведены в большую сторону
с точностью до
).
Рисунок
4.1 Корреляционное поле значений
Таблица 4.2
Корреляционная таблица
|
Группы по |
||||
658 – 814,7 (736,35) |
814,7 – 971,4 (893,05) |
971,4 – 1128,1 (1049,75) |
1128,1 – 1284,8 (1206,45) |
||
Группы по y |
11,9 – 14,8 |
4 |
3 |
- |
- |
14,8 – 17,7 |
- |
2 |
2 |
- |
|
17,7 – 20,6 |
- |
- |
3 |
2 |
|
20,6 – 23,5 |
- |
- |
- |
4 |
|
|
12,15 |
14,26 |
17,92 |
21,32 |
|
|
4 |
5 |
5 |
6 |
|
Отложим на корреляционном
поле значения групповых средних
при значениях факторного признака,
соответствующих серединам интервалов
по
(в корреляционной таблице указаны в
скобках) и соединим данные точки
отрезками прямых. Полученная ломанная
называется эмпирической линией регрессии
переменной
на переменную
.
Эмпирическая линия регрессии по своему
виду близка к прямой линии, что также
позволяет выдвинуть предположение о
наличии прямой корреляционной связи
между переменной
и переменной
.
Проверку сделанных предположений проводят, осуществляя процедуры:
расчета выборочного коэффициента корреляции;
проверки статистической гипотезы о равенстве выборочного коэффициента корреляции нулю;
построения доверительных интервалов для коэффициента корреляции в генеральной совокупности значений и .
Выборочный коэффициент
корреляции
рассчитывается по следующей формуле:
, (4.1)
где
и
средние арифметические значения
факторного и результирующего признака
соответственно. Коэффициент корреляции
обладает следующими свойствами:
может принимать любые значения в интервале
коэффициент корреляции может быть равен
только в том случае, если между факторной
и результирующей переменной существует
функциональная связь;если между переменными не наблюдается статистической связи, то коэффициент корреляции равен нулю.
Из вышесказанного
следует, что чем ближе значение
к
,
тем вероятнее наличие корреляционной
связи между факторным и результирующим
признаком.
Значимость
корреляционной связи оценивают, проверяя
статистическую гипотезу
при альтернативной гипотезе
на заранее выбранном уровне значимости
.
Критерием для принятия нулевой гипотезы
является выполнение следующего условия:
, (4.2)
где
критическая
точка распределения Стьюдента с
степенями свободы при уровнем значимости
(Приложение). В случае если нулевая
гипотеза отвергается и считается, что
коэффициент корреляции значимо
отличается от нуля, то для коэффициента
корреляции в генеральной совокупности
значений факторного и результирующего
признака указывается доверительный
интервал с уровнем доверительной
вероятности
:
. (4.3)
Проведем расчет указанных величин по данным рассматриваемого примера. Для проведения расчета составим и заполним вспомогательную таблицу 4.3, выполняя следующие действия:
в столбцы 1, 2 заносим значения факторного признака
и результирующего признака
;
определяем среднее арифметическое значений факторного признака - (сумма значений столбца 2, деленная на общее количество значений):
;
определяем среднее арифметическое значений результирующего признака - (сумма значений столбца 3, деленная на общее количество значений):
.
используя значения и , последовательно заполняем столбцы 4 – 8 .
Рассчитываем значение выборочного коэффициента корреляции между величинами и (сумма значений столбца 8, деленная на квадратный корень из произведения сумм значений столбцов 6 и 7):
.
Значение коэффициента корреляции очень близко к +1, что указывает на наличие очень тесной линейной связи между исследуемыми переменными.
Проверим гипотезу
о значимости коэффициента корреляции.
Выберем уровень значимости
и рассчитаем значение величины
(4.2):
.
По
таблице значений критических точек
распределения Стьюдента (Приложение
2) при 18 степенях свободы и уровне
значимости
находим значение
.
Условие (4.2) не выполняется, следовательно
рассчитанное значение коэффициента
корреляции не может быть объяснено
только случайными причинами и связь
необходимо признать значимой.
Рассчитаем
- й доверительный интервал для коэффициента
корреляции в генеральной совокупности
значений факторного и результирующего
признаков (4.3):
.
Таким образом, интервал 0,966 – 0,999 с вероятностью 95% содержит в себе значение коэффициента корреляции в генеральной совокупности значений факторного и результирующего признака.
Таблица 4.3 - Вспомогательная таблица для расчета коэффициента корреляции
№ |
x |
y |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
658,0 |
11,9 |
-332,825 |
-4,97 |
110772,5 |
24,7009 |
1654,14 |
2 |
700,4 |
12,1 |
-290,425 |
-4,77 |
84346,68 |
22,7529 |
1385,327 |
3 |
740,6 |
12,1 |
-250,225 |
-4,77 |
62612,55 |
22,7529 |
1193,573 |
4 |
774,4 |
12,5 |
-216,425 |
-4,37 |
46839,78 |
19,0969 |
945,7773 |
5 |
816,2 |
12,8 |
-174,625 |
-4,07 |
30493,89 |
16,5649 |
710,7238 |
6 |
853,5 |
13,6 |
-137,325 |
-3,27 |
18858,16 |
10,6929 |
449,0528 |
7 |
876,8 |
14,4 |
-114,03 |
-2,47 |
13001,7 |
6,1009 |
281,6418 |
8 |
900,0 |
14,8 |
-90,825 |
-2,07 |
8249,181 |
4,2849 |
188,0078 |
9 |
951,4 |
15,7 |
-39,425 |
-1,17 |
1554,331 |
1,3689 |
46,12725 |
10 |
1007,9 |
16,9 |
17,075 |
0,03 |
291,5556 |
0,0009 |
0,51225 |
11 |
1004,8 |
17,6 |
13,975 |
0,73 |
195,3006 |
0,5329 |
10,20175 |
12 |
1010,8 |
17,9 |
19,975 |
1,03 |
399,0006 |
1,0609 |
20,57425 |
13 |
1056,2 |
18,0 |
65,375 |
1,13 |
4273,891 |
1,2769 |
73,87375 |
14 |
1105,4 |
19,2 |
114,575 |
2,33 |
13127,43 |
5,4289 |
266,9598 |
15 |
1162,3 |
18,6 |
171,475 |
1,73 |
29403,68 |
2,9929 |
296,6518 |
16 |
1200,7 |
20,1 |
209,875 |
3,23 |
44047,52 |
10,4329 |
677,8963 |
17 |
1209,5 |
21,5 |
218,675 |
4,63 |
47818,76 |
21,4369 |
1012,465 |
18 |
1248,6 |
22,0 |
257,775 |
5,13 |
66447,95 |
26,3169 |
1322,386 |
19 |
1254,4 |
22,4 |
263,575 |
5,53 |
69471,78 |
30,5809 |
1457,57 |
20 |
1284,6 |
23,3 |
293,775 |
6,43 |
86303,75 |
41,3449 |
1888,973 |
|
19816,5 |
337,4 |
|
|
738509,4 |
269,722 |
13882,44 |
После
установления факта наличия линейной
корреляционной связи осуществляют
процедуру регрессионного анализа,
сущность которого заключается в
построении уравнения, характеризующего
закон изменения значений условных
средних
,
,
…,
при изменении значений факторных
переменных. В случае парной корреляции,
если методами корреляционного анализа
установлено, что между факторной и
результирующей переменной существует
линейная связь, то закон изменения
условных средних ищется в виде следующего
уравнения (уравнения парной линейной
регрессии):
, (4.4)
где
и
неизвестные параметры, значения которых
определяются по данным, полученным в
результате наблюдений (т.е. по данным
таблицы 4.1). Для определения параметров
и
наиболее часто используется метод
наименьших квадратов, сущность которого
заключается в минимизации суммы
квадратов отклонений наблюдаемых
значений от значений, рассчитанных по
формуле (3.4). Данная сумма как функция
неизвестных параметров
и
имеет следующий вид:
. (4.5)
Для минимизации
данной функции необходимо взять частные
производные данной функции по параметрам
и
и приравнять их к нулю в точке (
):
;
.
После преобразований получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
. (4.6)
Из первого уравнения данной системы получаем:
. (4.7)
Откуда
видно, что искомое уравнение проходит
через точку с координатами (
).
Подставляя полученное выражение для
во второе уравнение системы (4.6) имеем:
. (4.8)
Выражение
(4.8) имеет смысл только в том случае,
если его знаменатель не равен нулю.
Т.к. знаменатель представляет собой не
что иное, как выражение для дисперсии
факторного признака
,
то можно сделать следующий важный
вывод: уравнение линейной регрессии
не может быть построено, если значение
выборочной дисперсии факторной
переменной равно нулю.
Таким образом,
уравнение линейной регрессии после
определения значений параметров
и
приобретает вид:
. (4.9)
Разность фактических и расчетных значений результирующей переменной:
, (4.10)
при
определенном
называется остатком или случайной
составляющей в
- м наблюдении. При проведении
регрессионного анализа предполагается,
что случайная составляющая в каждом
из
-х
наблюдений подчиняется нормальному
закону распределения с параметрами
и
.
Оценку дисперсии случайной составляющей рассчитывают по следующей формуле:
. (4.11)
Т. к. параметры уравнения регрессии и оцениваются по выборочным данным, то очевидно, данные значения сами по себе являются случайными величинами, поэтому необходимо проводить оценку значимости данных параметров и указывать доверительные интервалы для значений данных параметров в генеральной совокупности значений факторного и результирующего признака.
Значимость параметров
регрессии обычно оценивают, проверяя
статистические гипотезы
и
при альтернативных гипотезах
и
с использованием следующих соотношений
(
критериев):
,
. (4.12)
,
, (4.13)
распределенных
по закону Стьюдента с
степенями свободы. Критерием принятия
соответствующей нулевой гипотезы
является выполнение условий:
; (4.14)
,
(4.15)
где - критическая точка распределения Стьюдента с степенями свободы, соответствующая уровню значимости . При невыполнении какого-либо из соотношений (4.14 – 4.15) соответствующий параметр признается незначимым. В случае значимости параметров и для их значений в генеральной совокупности значений факторной и результирующей переменной указываются доверительные интервалы с уровнем доверия в следующем виде:
для параметра :
; (4.16)
. (4.17)
В качестве показателя,
характеризующего качество разработанной
модели в целом, используется коэффициент
детерминации
,
равный:
(4.18)
который показывает, какая доля вариации значений результирующего признака объясняется влиянием факторного признака. Коэффициент детерминации изменяется от нуля до единицы, и чем ближе его значение к единице, тем лучше модель описывает результаты наблюдений.
Основной целью
разработки регрессионных моделей
является оценка уровня возможных
изменений результирующего признака
при изменении значений факторного
признака, т. е. научно обоснованное
прогнозирование развития изучаемого
явления. При известном значении
факторного признака
прогноз значений результирующего
признака "в среднем" осуществляется
подстановкой данного значения в
полученное уравнение регрессии:
. (4.19)
Кроме
того, с вероятностью
может быть дан интервальный прогноз
величины
:
, (4.20)
Разработаем уравнение линейной регрессии расходов на медицинские услуги на величину личного дохода по данным рассматриваемого примера. Для проведения расчетов сформируем вспомогательную таблицу 4.4. Используя данные столбцов 2–5 определяем значения параметров уравнения линейной регрессии и :
;
.
Таким образом, уравнение линейной регрессии затрат на медицинские услуги на величину личных доходов приобретает вид:
.
С использованием полученного уравнения
последовательно рассчитаем значения
,
,
и заполним столбцы 6 – 8 таблицы 4.4.
С использованием суммы столбца 8 рассчитаем оценку дисперсии случайной составляющей:
.
Таблица 4.4.
Вспомогательная таблица для разработки уравнения линейной регрессии
№ |
x |
y |
x2 |
xy |
|
e |
E2 |
|
|
1 |
658,0 |
11,9 |
432964 |
7830,2 |
10,62 |
-1,28 |
1,65 |
10,28809 |
10,94271 |
2 |
700,4 |
12,1 |
490560,2 |
8474,84 |
11,41 |
-0,69 |
0,47 |
11,08525 |
11,73979 |
3 |
740,6 |
12,1 |
548488,4 |
8961,26 |
12,17 |
0,07 |
0,005 |
11,84105 |
12,49551 |
4 |
774,4 |
12,5 |
599695,4 |
9680 |
12,80 |
0,30 |
0,09 |
12,47651 |
13,13093 |
5 |
816,2 |
12,8 |
666182,4 |
10447,36 |
13,59 |
0,79 |
0,62 |
13,26238 |
13,91674 |
6 |
853,5 |
13,6 |
728462,3 |
11607,6 |
14,29 |
0,70 |
0,48 |
13,96363 |
14,61797 |
7 |
876,8 |
14,4 |
768778,2 |
12625,92 |
14,73 |
0,33 |
0,11 |
14,40168 |
15,056 |
8 |
900,0 |
14,8 |
810000 |
13320 |
15,17 |
0,37 |
0,13 |
14,83785 |
15,49215 |
9 |
951,4 |
15,7 |
905162 |
14936,98 |
16,13 |
0,43 |
0,19 |
15,80418 |
16,45846 |
10 |
1007,9 |
16,9 |
1015862 |
17033,51 |
17,19 |
0,29 |
0,09 |
16,86638 |
17,52066 |
11 |
1004,8 |
17,6 |
1009623 |
17684,48 |
17,14 |
-0,46 |
0,22 |
16,8081 |
17,46238 |
12 |
1010,8 |
17,9 |
1021717 |
18093,32 |
17,25 |
-0,65 |
0,43 |
16,9209 |
17,57518 |
13 |
1056,2 |
18,0 |
1115558 |
19011,6 |
18,10 |
0,10 |
0,01 |
17,77442 |
18,4287 |
14 |
1105,4 |
19,2 |
1221909 |
21223,68 |
19,03 |
-0,17 |
0,03 |
18,69936 |
19,35368 |
15 |
1162,3 |
18,6 |
1350941 |
21618,78 |
20,10 |
1,50 |
2,24 |
19,76906 |
20,42342 |
16 |
1200,7 |
20,1 |
1441680 |
24134,07 |
20,82 |
0,72 |
0,52 |
20,49095 |
21,14537 |
17 |
1209,5 |
21,5 |
1462890 |
26004,25 |
20,98 |
-0,52 |
0,27 |
20,65639 |
21,31081 |
18 |
1248,6 |
22,0 |
1559002 |
27469,2 |
21,72 |
-0,28 |
0,08 |
21,39144 |
22,04592 |
19 |
1254,4 |
22,4 |
1573519 |
28098,56 |
21,83 |
-0,57 |
0,33 |
21,50047 |
22,15497 |
20 |
1284,6 |
23,3 |
1650197 |
29931,18 |
22,40 |
-0,90 |
0,82 |
22,06821 |
22,72275 |
|
19816,5 |
337,4 |
20373193 |
348186,8 |
337,45 |
0,05 |
8,76 |
10,28809 |
10,94271 |
Проверим значимость параметров
регрессии. Выберем уровень значимости
и рассчитаем значения
критериев (4.12, 4.13) (при расчетах значение
взято из столбца 6 таблицы 4.3):
;
.
Оба значения существенно больше
критической точки распределения
Стьюдента
и, следовательно, нулевая гипотеза
отвергается, и параметры уравнения
регрессии необходимо считать значимыми.
Доверительные интервалы для параметров регрессии во всей генеральной совокупности значений факторного и результативного признака с уровнем доверительной вероятности 0,95 рассчитываем по формулам (4.16 – 4.17):
;
;
;
.
Таким образом, указанные интервалы с вероятностью 0,9 будут содержать в себе истинные значения параметров линейной регрессии.
Оценим качество модели с помощью
коэффициента детерминации (4.18) (при
расчетах значение величины
взято из столбца 7 таблицы 4.3):
.
Таким образом, 97% вариации значений расходов на медицинские услуги обусловлены влиянием объема личного дохода.
Предположим, что в 1984 предполагается изменение совокупного личного дохода граждан до 1350 млрд. $. Дадим прогноз расходов на медицинские услуги с использованием разработанной модели. Значение расходов "в среднем" составит (4.19):
,
а истинное значение расходов будет содержаться в 95% - м доверительном интервале (3.20):
.
Таким образом, с вероятностью 0,95 указанный интервал будет содержать в себе истинное значение расходов на медицинские услуги. Аналогичным образом рассчитываем доверительные интервалы для всех значений и заполняем столбцы 9, 10 таблицы 4.4. Результаты расчетов представлены на рисунке 4.2
Рисунок 4.2 График регрессионной зависимости расходов на медицинское обслуживание от величины личного дохода.
Индивидуальные задания к теме "Анализ парной корреляции"
На стр. 64 – 70 приведены данные о функционировании ряда экономических систем за период в 15 лет. В качестве данных представлены: L - затраты на фактор труда; K - затраты на фактор капитала; Y - произведенный продукт. Каждая из переменных, приведена в млрд. долл. США.
Для своего варианта исходных данных:
провести анализ парной корреляции между величиной производительности труда (
- результирующая переменная) и его
фондовооруженности (
- факторная переменная);построить уравнение линейной регрессии производительности труда на величину его фондовооруженности -
;провести анализ адекватности полученной модели;
представить соответствующие графики.
Примечание:
при проверке гипотез о значимости
коэффициента корреляции, значимости
коэффициентов регрессии и построении
доверительных интервалов для перечисленных
коэффициентов принимать доверительную
вероятность равной
.
Вариант 1
t |
Y |
K |
L |
1 |
2.27 |
112.5 |
48 |
2 |
1.94 |
116.4 |
42.1 |
3 |
2.32 |
111.6 |
42.3 |
4 |
2.49 |
108.9 |
43.7 |
5 |
2.57 |
116.5 |
42.8 |
6 |
2.01 |
104.5 |
41.8 |
7 |
1.87 |
102.7 |
30.0 |
8 |
2.39 |
110.2 |
44.4 |
9 |
2.18 |
104.7 |
51.2 |
10 |
2.17 |
109.4 |
54.6 |
11 |
1.80 |
101.1 |
57.4 |
12 |
2.36 |
102.6 |
53.2 |
13 |
2.50 |
128.5 |
57.6 |
14 |
2.27 |
122.5 |
58.3 |
15 |
2.23 |
105.2 |
55.7 |
Вариант 3
t |
Y |
K |
L |
1 |
15.16 |
32.10 |
24.56 |
2 |
16.70 |
31.00 |
23.70 |
3 |
15.44 |
32.40 |
23.78 |
4 |
15.65 |
33.20 |
24.10 |
5 |
13.13 |
31.20 |
24.00 |
6 |
14.22 |
34.80 |
23.67 |
7 |
16.73 |
35.40 |
24.90 |
8 |
17.80 |
33.00 |
32.75 |
9 |
16.88 |
34.80 |
26.24 |
10 |
15.67 |
33.30 |
25.37 |
11 |
15.99 |
36.10 |
25.66 |
12 |
14.33 |
38.30 |
24.34 |
13 |
15.77 |
30.60 |
22.10 |
14 |
15.28 |
32.10 |
20.57 |
15 |
17.04 |
37.60 |
24.61 |
Вариант 2
t |
Y |
K |
L |
1 |
2.27 |
48 |
2.12 |
2 |
1.94 |
42.1 |
2.20 |
3 |
2.32 |
42.3 |
2.11 |
4 |
2.49 |
43.7 |
2.03 |
5 |
2.57 |
42.8 |
2.21 |
6 |
2.01 |
41.8 |
1.88 |
7 |
1.87 |
30.0 |
1.91 |
8 |
2.39 |
44.4 |
2.00 |
9 |
2.18 |
51.2 |
1.90 |
10 |
2.17 |
54.6 |
1.99 |
11 |
1.80 |
57.4 |
1.54 |
12 |
2.36 |
53.2 |
1.74 |
13 |
2.50 |
57.6 |
2.23 |
14 |
2.27 |
58.3 |
2.14 |
15 |
2.23 |
55.7 |
1.87 |
Вариант 4
t |
Y |
K |
L |
1 |
48 |
2.27 |
112.5 |
2 |
42.1 |
1.94 |
116.4 |
3 |
42.3 |
2.32 |
111.6 |
4 |
43.7 |
2.49 |
108.9 |
5 |
42.8 |
2.57 |
116.5 |
6 |
41.8 |
2.01 |
104.5 |
7 |
30.0 |
1.87 |
102.7 |
8 |
44.4 |
2.39 |
110.2 |
9 |
51.2 |
2.18 |
104.7 |
10 |
54.6 |
2.17 |
109.4 |
11 |
57.4 |
1.80 |
101.1 |
12 |
53.2 |
2.36 |
102.6 |
13 |
57.6 |
2.50 |
128.5 |
14 |
58.3 |
2.27 |
122.5 |
15 |
55.7 |
2.23 |
105.2 |
Вариант 5
t |
Y |
K |
L |
1 |
3.45 |
2.27 |
48 |
2 |
3.48 |
1.94 |
42.1 |
3 |
3.06 |
2.32 |
42.3 |
4 |
3.66 |
2.49 |
43.7 |
5 |
3.79 |
2.57 |
42.8 |
6 |
3.85 |
2.01 |
41.8 |
7 |
3.44 |
1.87 |
30.0 |
8 |
4.08 |
2.39 |
44.4 |
9 |
4.50 |
2.18 |
51.2 |
10 |
4.31 |
2.17 |
54.6 |
11 |
3.57 |
1.80 |
57.4 |
12 |
3.55 |
2.36 |
53.2 |
13 |
4.61 |
2.50 |
57.6 |
14 |
3.99 |
2.27 |
58.3 |
15 |
4.78 |
2.23 |
55.7 |
Вариант 7
t |
Y |
K |
L |
1 |
3.45 |
112.5 |
2.12 |
2 |
3.48 |
116.4 |
2.20 |
3 |
3.06 |
111.6 |
2.11 |
4 |
3.66 |
108.9 |
2.03 |
5 |
3.79 |
116.5 |
2.21 |
6 |
3.85 |
104.5 |
1.88 |
7 |
3.44 |
102.7 |
1.91 |
8 |
4.08 |
110.2 |
2.00 |
9 |
4.50 |
104.7 |
1.90 |
10 |
4.31 |
109.4 |
1.99 |
11 |
3.57 |
101.1 |
1.54 |
12 |
3.55 |
102.6 |
1.74 |
13 |
4.61 |
128.5 |
2.23 |
14 |
3.99 |
122.5 |
2.14 |
15 |
4.78 |
105.2 |
1.87 |
Вариант 6
t |
Y |
K |
L |
1 |
15.16 |
2.12 |
32.10 |
2 |
16.70 |
2.20 |
31.00 |
3 |
15.44 |
2.11 |
32.40 |
4 |
15.65 |
2.03 |
33.20 |
5 |
13.13 |
2.21 |
31.20 |
6 |
14.22 |
1.88 |
34.80 |
7 |
16.73 |
1.91 |
35.40 |
8 |
17.80 |
2.00 |
33.00 |
9 |
16.88 |
1.90 |
34.80 |
10 |
15.67 |
1.99 |
33.30 |
11 |
15.99 |
1.54 |
36.10 |
12 |
14.33 |
1.74 |
38.30 |
13 |
15.77 |
2.23 |
30.60 |
14 |
15.28 |
2.14 |
32.10 |
15 |
17.04 |
1.87 |
37.60 |
Вариант 8
t |
Y |
K |
L |
1 |
3.45 |
48 |
112.5 |
2 |
3.48 |
42.1 |
116.4 |
3 |
3.06 |
42.3 |
111.6 |
4 |
3.66 |
43.7 |
108.9 |
5 |
3.79 |
42.8 |
116.5 |
6 |
3.85 |
41.8 |
104.5 |
7 |
3.44 |
30.0 |
102.7 |
8 |
4.08 |
44.4 |
110.2 |
9 |
4.50 |
51.2 |
104.7 |
10 |
4.31 |
54.6 |
109.4 |
11 |
3.57 |
57.4 |
101.1 |
12 |
3.55 |
53.2 |
102.6 |
13 |
4.61 |
57.6 |
128.5 |
14 |
3.99 |
58.3 |
122.5 |
15 |
4.78 |
55.7 |
105.2 |
Вариант 9
t |
Y |
K |
L |
1 |
112.5 |
2.27 |
2.12 |
2 |
116.4 |
1.94 |
2.20 |
3 |
111.6 |
2.32 |
2.11 |
4 |
108.9 |
2.49 |
2.03 |
5 |
116.5 |
2.57 |
2.21 |
6 |
104.5 |
2.01 |
1.88 |
7 |
102.7 |
1.87 |
1.91 |
8 |
110.2 |
2.39 |
2.00 |
9 |
104.7 |
2.18 |
1.90 |
10 |
109.4 |
2.17 |
1.99 |
11 |
101.1 |
1.80 |
1.54 |
12 |
102.6 |
2.36 |
1.74 |
13 |
128.5 |
2.50 |
2.23 |
14 |
122.5 |
2.27 |
2.14 |
15 |
105.2 |
2.23 |
1.87 |
Вариант 11
t |
Y |
K |
L |
1 |
0.257 |
0.215 |
0.703 |
2 |
0.285 |
0.236 |
0.730 |
3 |
0.313 |
0.258 |
0.755 |
4 |
0.344 |
0.282 |
0.781 |
5 |
0.381 |
0.310 |
0.808 |
6 |
0.422 |
0.343 |
0.820 |
7 |
0.464 |
0.380 |
0.818 |
8 |
0.510 |
0.422 |
0.825 |
9 |
0.558 |
0.467 |
0.849 |
10 |
0.607 |
0.516 |
0.867 |
11 |
0.657 |
0.571 |
0.866 |
12 |
0.707 |
0.630 |
0.863 |
13 |
0.758 |
0.695 |
0.877 |
14 |
0.809 |
0.765 |
0.903 |
15 |
0.866 |
0.840 |
0.937 |
Вариант 10
t |
Y |
K |
L |
1 |
3.45 |
32.10 |
24.56 |
2 |
3.48 |
31.00 |
23.70 |
3 |
3.06 |
32.40 |
23.78 |
4 |
3.66 |
33.20 |
24.10 |
5 |
3.79 |
31.20 |
24.00 |
6 |
3.85 |
34.80 |
23.67 |
7 |
3.44 |
35.40 |
24.90 |
8 |
4.08 |
33.00 |
32.75 |
9 |
4.50 |
34.80 |
26.24 |
10 |
4.31 |
33.30 |
25.37 |
11 |
3.57 |
36.10 |
25.66 |
12 |
3.55 |
38.30 |
24.34 |
13 |
4.61 |
30.60 |
22.10 |
14 |
3.99 |
32.10 |
20.57 |
15 |
4.78 |
37.60 |
24.61 |
Вариант 12
t |
Y |
K |
L |
1 |
3.45 |
2.12 |
32.10 |
2 |
3.48 |
2.20 |
31.00 |
3 |
3.06 |
2.11 |
32.40 |
4 |
3.66 |
2.03 |
33.20 |
5 |
3.79 |
2.21 |
31.20 |
6 |
3.85 |
1.88 |
34.80 |
7 |
3.44 |
1.91 |
35.40 |
8 |
4.08 |
2.00 |
33.00 |
9 |
4.50 |
1.90 |
34.80 |
10 |
4.31 |
1.99 |
33.30 |
11 |
3.57 |
1.54 |
36.10 |
12 |
3.55 |
1.74 |
38.30 |
13 |
4.61 |
2.23 |
30.60 |
14 |
3.99 |
2.14 |
32.10 |
15 |
4.78 |
1.87 |
37.60 |
Вариант 13
t |
Y |
K |
L |
1 |
112.5 |
3.45 |
2.12 |
2 |
116.4 |
3.48 |
2.20 |
3 |
111.6 |
3.06 |
2.11 |
4 |
108.9 |
3.66 |
2.03 |
5 |
116.5 |
3.79 |
2.21 |
6 |
104.5 |
3.85 |
1.88 |
7 |
102.7 |
3.44 |
1.91 |
8 |
110.2 |
4.08 |
2.00 |
9 |
104.7 |
4.50 |
1.90 |
10 |
109.4 |
4.31 |
1.99 |
11 |
101.1 |
3.57 |
1.54 |
12 |
102.6 |
3.55 |
1.74 |
13 |
128.5 |
4.61 |
2.23 |
14 |
122.5 |
3.99 |
2.14 |
15 |
105.2 |
4.78 |
1.87 |
Вариант 15
t |
Y |
K |
L |
1 |
43.08 |
30.57 |
61.39 |
2 |
46.57 |
34.20 |
64.77 |
3 |
50.10 |
37.93 |
68.68 |
4 |
53.50 |
41.56 |
72.65 |
5 |
56.44 |
45.33 |
75.67 |
6 |
59.70 |
49.72 |
78.33 |
7 |
64.12 |
54.64 |
81.48 |
8 |
69.10 |
60.69 |
85.03 |
9 |
74.61 |
68.60 |
88.30 |
10 |
80.91 |
77.70 |
91.30 |
11 |
86.91 |
86.09 |
94.35 |
12 |
92.73 |
93.18 |
97.31 |
13 |
99.33 |
100.21 |
100.08 |
14 |
105.28 |
108.08 |
102.83 |
15 |
111.22 |
116.78 |
105.51 |
Вариант 14
t |
Y |
K |
L |
1 |
118.76 |
125.98 |
108.09 |
2 |
125.83 |
135.58 |
110.67 |
3 |
132.23 |
145.87 |
113.19 |
4 |
139.13 |
156.74 |
115.58 |
5 |
146.11 |
167.90 |
117.96 |
6 |
152.39 |
179.54 |
120.35 |
7 |
158.09 |
191.58 |
122.59 |
8 |
165.07 |
203.91 |
124.61 |
9 |
174.64 |
216.78 |
126.31 |
10 |
185.57 |
230.43 |
127.64 |
11 |
195.15 |
244.87 |
128.66 |
12 |
201.99 |
259.66 |
129.57 |
13 |
206.68 |
274.29 |
130.52 |
14 |
210.69 |
288.82 |
131.21 |
15 |
215.93 |
303.47 |
131.07 |
Вариант 16
t |
Y |
K |
L |
1 |
201.60 |
3.45 |
10.11 |
2 |
202.00 |
3.48 |
13.65 |
3 |
202.60 |
3.06 |
13.75 |
4 |
201.80 |
3.66 |
11.64 |
5 |
203.30 |
3.79 |
12.87 |
6 |
203.40 |
3.85 |
12.43 |
7 |
204.70 |
3.44 |
14.33 |
8 |
204.30 |
4.08 |
15.26 |
9 |
204.50 |
4.50 |
15.90 |
10 |
203.90 |
4.31 |
18.21 |
11 |
202.70 |
3.57 |
13.22 |
12 |
205.80 |
3.55 |
13.45 |
13 |
209.5 |
4.61 |
12.22 |
14 |
204.3 |
3.99 |
12.00 |
15 |
202.8 |
4.78 |
13.07 |
Вариант 17
t |
Y |
K |
L |
1 |
1.61 |
1.85 |
1.22 |
2 |
1.69 |
1.99 |
1.25 |
3 |
1.77 |
2.14 |
1.28 |
4 |
1.87 |
2.30 |
1.31 |
5 |
1.96 |
2.46 |
1.33 |
6 |
2.06 |
2.63 |
1.36 |
7 |
2.11 |
2.81 |
1.39 |
8 |
2.22 |
2.99 |
1.41 |
9 |
2.33 |
3.18 |
1.43 |
10 |
2.51 |
3.38 |
1.45 |
11 |
2.63 |
3.59 |
1.46 |
12 |
2.73 |
3.81 |
1.47 |
13 |
2.77 |
4.03 |
1.48 |
14 |
2.84 |
4.24 |
1.49 |
15 |
2.88 |
4.46 |
1.49 |
Вариант 19
t |
Y |
K |
L |
1 |
131.73 |
145.69 |
113.3 |
2 |
139.48 |
156.78 |
115.52 |
3 |
145.81 |
167.69 |
117.96 |
4 |
153.32 |
179.45 |
120.4 |
5 |
157.1 |
191.56 |
122.62 |
6 |
164.82 |
203.74 |
124.72 |
7 |
173.55 |
216.58 |
126.39 |
8 |
186.64 |
230.20 |
127.72 |
9 |
195.43 |
244.73 |
128.71 |
10 |
203.11 |
259.80 |
129.49 |
11 |
206.29 |
274.32 |
130.6 |
12 |
211.03 |
288.73 |
131.37 |
13 |
214.41 |
303.50 |
131.49 |
14 |
223.85 |
318.14 |
129.93 |
15 |
229.43 |
333.94 |
127.94 |
Вариант 18
t |
Y |
K |
L |
1 |
1.09 |
1.15 |
1.03 |
2 |
1.18 |
1.27 |
1.07 |
3 |
1.23 |
1.37 |
1.10 |
4 |
1.34 |
1.47 |
1.13 |
5 |
1.42 |
1.58 |
1.16 |
6 |
1.48 |
1.71 |
1.19 |
7 |
1.61 |
1.85 |
1.22 |
8 |
1.69 |
1.99 |
1.25 |
9 |
1.77 |
2.14 |
1.28 |
10 |
1.87 |
2.30 |
1.31 |
11 |
1.96 |
2.46 |
1.33 |
12 |
2.06 |
2.63 |
1.36 |
13 |
2.11 |
2.81 |
1.39 |
14 |
2.22 |
2.99 |
1.41 |
15 |
2.33 |
3.18 |
1.43 |
Вариант 20
t |
Y |
K |
L |
1 |
0.58 |
0.45 |
0.70 |
2 |
0.62 |
0.50 |
0.73 |
3 |
0.67 |
0.56 |
0.78 |
4 |
0.72 |
0.61 |
0.83 |
5 |
0.76 |
0.66 |
0.86 |
6 |
0.79 |
0.73 |
0.88 |
7 |
0.87 |
0.80 |
0.92 |
8 |
0.92 |
0.88 |
0.96 |
9 |
1.00 |
1.00 |
1.00 |
10 |
1.09 |
1.15 |
1.03 |
11 |
1.18 |
1.27 |
1.07 |
12 |
1.23 |
1.37 |
1.10 |
13 |
1.34 |
1.47 |
1.13 |
14 |
1.42 |
1.58 |
1.16 |
15 |
1.48 |
1.71 |
1.19 |
Вариант 21
t |
Y |
K |
L |
1 |
1.000 |
1.000 |
1.000 |
2 |
1.124 |
1.092 |
1.046 |
3 |
1.222 |
1.192 |
1.078 |
4 |
1.339 |
1.304 |
1.110 |
5 |
1.488 |
1.434 |
1.162 |
6 |
1.657 |
1.583 |
1.182 |
7 |
1.809 |
1.757 |
1.159 |
8 |
1.998 |
1.952 |
1.170 |
9 |
2.181 |
2.162 |
1.214 |
10 |
2.378 |
2.390 |
1.249 |
11 |
2.575 |
2.641 |
1.238 |
12 |
2.769 |
2.918 |
1.222 |
13 |
2.974 |
3.220 |
1.250 |
14 |
3.161 |
3.544 |
1.286 |
15 |
3.376 |
3.890 |
1.337 |
Вариант 23
t |
Y |
K |
L |
1 |
84.6 |
59.34 |
92.39 |
2 |
82.63 |
57.58 |
91.68 |
3 |
77.41 |
55.88 |
91.11 |
4 |
81.24 |
50.63 |
91.05 |
5 |
84.97 |
55.57 |
91.5 |
6 |
89.43 |
56.39 |
92.38 |
7 |
92.27 |
58.16 |
92.46 |
8 |
92.32 |
61.82 |
92.18 |
9 |
95.22 |
64.3 |
91.75 |
10 |
95.78 |
67.1 |
92.27 |
11 |
97.76 |
69.66 |
92.98 |
12 |
98.45 |
72.56 |
93.43 |
13 |
98.67 |
70.02 |
93.81 |
14 |
99.65 |
72.97 |
93.5 |
15 |
102 |
75.97 |
93.41 |
Вариант 22
t |
Y |
K |
L |
1 |
38.84 |
37.87 |
80.79 |
2 |
43.66 |
41.35 |
84.51 |
3 |
47.47 |
45.13 |
87.09 |
4 |
51.99 |
49.39 |
89.71 |
5 |
57.80 |
54.30 |
93.87 |
6 |
64.36 |
59.93 |
95.47 |
7 |
70.26 |
66.55 |
93.65 |
8 |
77.60 |
73.93 |
94.50 |
9 |
84.71 |
81.86 |
98.10 |
10 |
92.38 |
90.51 |
100.88 |
11 |
100.00 |
100.00 |
100.00 |
12 |
107.54 |
110.49 |
98.73 |
13 |
115.51 |
121.96 |
100.96 |
14 |
122.76 |
134.22 |
103.87 |
15 |
131.12 |
147.33 |
108.01 |
Вариант 24
t |
Y |
K |
L |
1 |
80.53 |
50.56 |
91.68 |
2 |
73.72 |
61.03 |
91.39 |
3 |
85.22 |
66.63 |
91.1 |
4 |
85.38 |
40.83 |
91.1 |
5 |
87.28 |
50.13 |
92.4 |
6 |
88.81 |
63.99 |
92.83 |
7 |
96.41 |
79.11 |
92.26 |
8 |
96.58 |
46.22 |
91.25 |
9 |
93.81 |
59.86 |
92.26 |
10 |
94.05 |
76.57 |
93.41 |
11 |
101.91 |
91.91 |
93.55 |
12 |
99.05 |
48.86 |
93.26 |
13 |
97.78 |
64.83 |
93.41 |
14 |
98.37 |
83.13 |
93.84 |
15 |
106.53 |
101.64 |
93.55 |
Вариант 25
t |
Y |
K |
L |
1 |
39.09 |
37.80 |
81.08 |
2 |
43.41 |
41.43 |
84.23 |
3 |
47.65 |
45.25 |
87.10 |
4 |
52.31 |
49.55 |
90.10 |
5 |
57.99 |
54.48 |
93.23 |
6 |
64.20 |
60.18 |
94.62 |
7 |
70.62 |
66.74 |
94.32 |
8 |
77.54 |
74.07 |
95.19 |
9 |
84.85 |
82.04 |
97.90 |
10 |
92.37 |
90.72 |
99.97 |
11 |
99.98 |
100.25 |
99.90 |
12 |
107.65 |
110.74 |
99.61 |
13 |
115.33 |
122.16 |
101.13 |
14 |
123.04 |
134.43 |
104.18 |
15 |
131.74 |
147.54 |
108.07 |