2.2 Основные операции над комплексными числами при исследовании цепей переменного тока.

1. Пусть требуется произвести сложение (или вычитание) двух гармонических колебаний:

и (2.13)

Мгновенное значение суммарного колебания

(2.14)

где - сумма мгновенных комплексов, представляющих колебания u₁ и u₂.

В результате сложения получаем новое гармоническое колебание, мгновенный комплекс которого будет

(2.15)

Отсюда видно, что результирующее колебание имеет ту же частоту ω, что и составляющие, а комплексная амплитуда равна сумме комплексных амплитуд U₁ и U₂:

(2.16)

2.Умножение мгновенного комплекса на постоянное вещественное число А дает

т.е приводит к новому колебанию, комплексная амплитуда которого увеличена в А раз. Это означает, что частота и начальная фаза колебания остаются неизменными, а амплитуда его увеличивается в А раз.

Согласно формуле Эйлера Поэтому, умножив мгновенный комплекс на получим

(2.17)

Вектор комплексной амплитуды, оставаясь неизменным по модулю, поворачивается на π/2 в сторону опережения (против часовой стрелки). Результирующее колебание при неизменной частоте и амплитуде имеет фазу на угол π/2 большую, нежели исходное.

Умножение комплекса на (-j) означает поворот вектора по стрелке часов на угол π/2.

3. Пусть требуется найти производную по времени гармонической функции

(2.18)

Так как

(2.19)

Дифференцируя u_k по времени, получим

(2.20)

т.е. для нахождения производной следует умножить мгновенный комплекс на величину jω.

Комплексная амплитуда производной по времени от гармонической функции символизируется вектором, в ω раз большим исходного и повернутым относительно него на угол π/2 против часовой стрелки.

Аналогично решается задача интегрирования по времени гармонической функции:

(2.21)

Находим символическое изображение интеграла (полагаем постоянную интегрирования С=0)

(2.22)

Таким образом, для нахождения интеграла исходный мгновенный комплекс надо разделить на jω.

Комплексная амплитуда изображается вектором в ω раз меньше исходного и повернутым на угол π/2 по часовой стрелке.

Итак, благодаря применению символического метода, т.е. представлению гармонических величин их условными комплексными изображениями, оказывается возможным заменить операции дифференцирования и интегрирования умножением и делением мгновенного комплекса на jω.