2.4 Элементарные цепи переменного тока.

Будем называть элементарными цепями переменного тока такие идеализированные цепи, схемы которых содержат, кроме источника гармонических колебаний, один из трех элементов: сопротивление r, емкость C, или индуктивность L.

а. Активное сопротивление при гармоническом воздействии

Пусть на сопротивлении r (рис.2.3) действует напряжение, изменяющееся во времени по гармоническому закону u=Ucos(ωt+ψ_u).

Рис. 2.3.

Комплексные амплитуды напряжения и тока

, .

Входное сопротивление цепи –вещественная величина, т.е.

Реактивная составляющая сопротивления x_вх=0. Следовательно, согласно формуле (2.27) φ=ψ_u-ψ_i=0, т.е. напряжение и ток совпадают по фазе.

В сопротивлении r расходуется энергия. Мгновенная скорость поступления энергии в цепь, т.е. мгновенная мощность p=i²r. Подставляя сюда мгновенное значение тока i=Icos(ωt+ψ),получим

(2.29)

Мгновенная мощность изменяется во времени с частотой 2ω.

Найдем среднее значение мощности за период. Для этого надо рассчитать интеграл

Подставляя сюда вместо p его значение из(2.29), получим

(2.30)

Среднее значение расходуемой мощности называют активной мощностью.

. (2.31)

При расчете цепей переменного тока пользуются понятием действующего (или эффективного) значения тока.

Действующим значением переменного тока I_д называется величина такого постоянного тока, который выделяет в данном сопротивлении ту же мощность, какая в нем расходуется в среднем за период при прохождении переменного тока.

Нетрудно установить связь между амплитудой гармонического тока I и его действующим значением I_д. Используя данное выше определение I_д, получим

откуда

(2.32)

Из определения понятия действующего значения тока следует, что энергия, расходуемая в сопротивлении r за период,

откуда

(2.33)

На этом основании действующее значение тока называют среднеквадратичным.

Наряду с действующим значением тока пользуются понятием действующего значения напряжения, которое связано соотношением

(2.34)

Сопротивление r участка цепи переменному току называют активным сопротивлением.

Активным сопротивлением цепи называется отношение расходуемой в ней средней (активной) мощности к квадрату действующего значения переменного тока, проходящего в цепи:

(2.35)

Активное сопротивление проводника превышает его же сопротивление при постоянном токе, которое в отличие от активного сопротивления называется омическим сопротивлением. Различие в величинах активного и омического сопротивлений данного проводника зависит от частоты переменного тока и при высоких частотах может быть весьма значительным.

б. Емкость при гармоническом воздействии.

Рассмотрим цепь, схема которой (рис.2.4) состоит из источника гармонического напряжения u=Ucos(ωt+ψ_u) и емкости С.

Рис 2.4.

Комплексные амплитуды напряжения и тока

, .

Так как мгновенный ток через емкость то в соответствии с (2.20) комплексные амплитуды тока и напряжения связаны между собой зависимостью

или

(2.36)

Отсюда следует, что начальная фаза тока ψ_i=ψ_u+π/2.

Вектор тока повернут относительно вектора напряжения в сторону, обратную направлению движения стрелки часов, на угол π/2, т.е. ток опережает по фазе напряжение на угол π/2 (рис2.13 стрстр51,

Входное комплексное сопротивление емкостной цепи в соответствии с (2.25)

(2.37)

является чисто мнимой величиной, т.е. активная составляющая входного сопротивления равна нулю и Z_вх=jx_вх. С другой стороны, из (2.36) следует, что

. (2.38)

Таким образом, для емкостной цепи реактивное сопротивление отрицательно и по абсолютной величине равно x_C.

Из всего сказанного должно быть ясно, что процессы в емкостной цепи зависят от частоты источника. На рис.2.5 приведены частотные характеристики емкостного сопротивления x_C(ω) и емкостной проводимости b_C(ω)=1/x_C(ω).

Рис.2.5

Ввиду того, что с увеличением частоты емкостное сопротивление падает, при высоких частотах оно становится весьма малым и режим источника приближается к короткому замыканию. Наоборот, для постоянного тока (ω=0) емкостное сопротивление бесконечно велико, т.е. цепь разомкнута.

Емкость С является энергоемким элементом цепи. В электрическом поле, сосредоточенном в емкости С , запасается энергия, мгновенное значение которой

(2.39)

Величина w_C изменяется с двойной частотой 2ωt, периодически достигая максимального значения

. (2.40)

Мгновенная мощность равна произведению мгновенных значений напряжения и тока, т.е.

(2.41)

Среднее значение мощности

т.е., как и следовало ожидать, активной (расходуемой) мощности в излучаемой цепи нет.

В емкостной цепи мгновенная мощность представляет собой скорость изменения запасаемой в поле энергии

Величина

(2.42)

называется реактивной мощностью. В емкостной цепи и

Из сказанного следует, что абсолютное значение реактивной мощности равно максимальной скорости запасания энергии в электрическом поле.

в. Индуктивность при гармоническом воздействии.

Рассмотрим цепь, схема которой (рис.2.6) состоит из источника гармонического напряжения u=Ucos(ωt+ψ_u) и индуктивности L.

Рис.2.6.

Комплексные амплитуды напряжения и тока

, .

Используя выражение для напряжения на индуктивности и равенство (2.20), получим

или

(2.43)

Отсюда следует, что начальная фаза тока ψ_i=ψ_u-π/2, т.е. ток отстает от напряжения на угол π/2.

Комплексное сопротивление рассматриваемой цепи является мнимой величиной

(2.44)

является чисто мнимой величиной, т.е. активная составляющая входного сопротивления равна нулю и Z_вх=jx_вх.

Как видно из (2.43) ,

(2.45)

т.е. реактивное сопротивление индуктивной цепи (в отличие от емкостной) положительно, а по абсолютной величине равно индуктивному сопротивлению Частотная характеристика представляется прямой, проходящей через начало координат. Для постоянного тока (ω=0) источник питания оказывается замкнутым накоротко , а для ω=∞ - разомкнутым . На рис.2.7 приведены частотные характеристики индуктивного сопротивления x_L(ω) и индуктивной проводимости b_L(ω)=1/x_L(ω).

Рис.2.7.

Индуктивность является энергоемким элементом цепи. В магнитном поле, которое мы считаем сосредоточенным в индуктивности L, запасается энергия, величина которой равна

(2.46)

Запасаемая энергия w_L изменяется во времени с частотой 2ωt. Она максимальна и равна

(2.47)

Мгновенная мощность изменяется во времени по закону

(2.48)

Потери энергии в изучаемой цепи отсутствуют:

Так как в индуктивной цепи φ=+π/2, то реактивная мощность индуктивной цепи равна

(2.49)