2.3 Закон Ома для комплексных амплитуд. Входное комплексное сопротивление.

При анализе процессов в цепях переменного тока принципиально необходимо учитывать не только сопротивления, но также емкости и индуктивности, входящие в состав цепи. Поэтому изучение цепей при гармоническом воздействии оказывается более сложным, чем исследование цепей постоянного тока. Применение символического метода комплексных амплитуд позволяет существенно упростить эту задачу.

Одна из главных задач теории электрических цепей заключается в нахождении откликов цепи на заданное воздействие. Воздействие в случае цепей переменного тока обычно задается в виде напряжения, амплитуда U, частота ω и начальная фаза ψ_u которого известны. Иначе говоря, при заданной частоте известна комплексная амплитуда . В некоторых случаях воздействие задается в виде тока, комплексная амплитуда которого где I-амплитуда, ψ_i – начальная фаза тока.

Искомыми откликами являются либо токи в ветвях цепи, либо напряжения на отдельных ее элементах. При гармоническом воздействии на линейную цепь все токи и напряжения также имеют форму гармонических колебаний, т.е. их комплексных амплитуд.

На рис. 2.2 приведено схематическое изображение цепи переменного тока.

Рис.2.2

Генератор гармонических колебаний Г питает пассивный двухполюсник П, в состав которого входит то или иное сочетание сопротивлений, индуктивностей и емкостей. Стрелками указаны положительные направления напряжения и тока.

Отношение комплексных амплитуд напряжения и тока на входе двухполюсника называется комплексным входным сопротивлением (сокращенно – комплексным сопротивлением) и обозначается Z_вх:

или (2.23)

. (2.24)

Формула (2.24) является уравнением закона Ома для комплексных амплитуд. Если известно Z_вх, то, зная комплексную амплитуду воздействия, нетрудно найти комплексную амплитуду отклика.

Будучи отношением двух комплексных чисел, сопротивление Z_вх является в общем случае комплексным числом и зависит от параметров r, L,C элементов, входящих в двухполюсник, а также от частоты колебаний ω, т.е.

(2.25)

где z_вх называется полным входным сопротивлением, а угол φ=ψ_u- ψ_i представляет собой сдвиг фаз между напряжением и током.

Комплексное сопротивление, как и всякое комплексное число, может быть представлено в алгебраической форме:

Z_вх=r_вх +jx_вх. (2.26)

Здесь

r_вх= z_вхcosφ

-вещественная часть, называемая активной составляющей входного сопротивления;

x_вх= z_вхsinφ (2.27)

-коэффициент при мнимой части комплексного числа Z_вх, называемый реактивной составляющей входного сопротивления.

Полное сопротивление

(2.28)