2.5. Законы Кирхгофа для комплексных амплитуд.

Согласно первому закону Кирхгофа сумма мгновенных значений токов узла равна нулю.

Представляя токи как вещественные части текущих комплексов

……

получим

Так как сумма вещественных частей комплексных функций равна вещественной части суммы функций, то

Это равенство удовлетворяется для любого момента времени. Поэтому

(2.50)

где n-число токов, сходящихся в узле.

Формула (2.51) является уравнением первого закона Кирхгофа в символической форме: сумма комплексных амплитуд токов узла равна нулю. Векторы токов, сходящихся в узле, складываются геометрически и образуют на векторной диаграмме замкнутую фигуру.

Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма мгновенных значений напряжений на пассивных элементах контура равна сумме э.д.с., действующих в контуре.

Выражая мгновенные значения величин и через соответствующие текущие комплексы

_, , …, ;

, …,

Получим

Так как это равенство соблюдается для любого момента времени, то колебания, представляемые текущими комплексами и , равны по амплитуде и совпадают по фазе:

(2.51)

где m-число пассивных элементов в контуре; N-число э.д.с.

Согласно закону Ома где - комплексная амплитуда тока, проходящего через элемент, имеющий комплексное сопротивление : поэтому (2.51) можно записать в виде

. (2.52)

Суммирование векторов напряжений и э.д.с. производится геометрически. Векторы, составляющие разность образуют на векторной диаграмме замкнутую фигуру.

2.6. Эквивалентные схемы генератора гармонических колебаний.

Благодаря применению символического метода все основные количественные соотношения, определяющие режим цепей при гармонических колебаниях, имеют такой же вид, как аналогичные выражения для цепи постоянного тока. Только вместо вещественных величин в случае переменного тока мы оперируем с комплексными числами: комплексными амплитудами напряжений (эдс) и токов и комплексными сопротивлениями элементов цепи. Это положение может быть распространено и на эквивалентные схемы источников энергии.

Генератор гармонических колебаний независимо от его принципа действия можно приближенно заменить одной из эквивалентных схем, подобных схемам источника постоянного тока, рассмотренным выше.

На рис.2.8а изображена (левее точек m-n) последовательная эквивалентная схема генератора.

Она состоит из генератора синусоидальной эдс, комплексная амплитуда которой соединенного последовательно с комплексным внутренним сопротивлением

Эдс равна напряжению холостого хода . Внутреннее сопротивление генератора

,

где - комплексная амплитуда тока короткого замыкания зажимов m-n.

Ток через сопротивление Z_н

; (2.53)

напряжение на нагрузке

(2.53а)

На рис 2.8б показана параллельная эквивалентная схема ( с генератором тока). Она состоит из генератора тока , параллельно которому включена внутренняя проводимость

Комплексная амплитуда напряжения на нагрузке, проводимость которой , определяется равенством

; (2.54)

ток нагрузки

(2.54а)

Любая из этих схем может быть применена для расчета тока и напряжения на нагрузке.

Так как , то между параметрами эквивалентных схем существует очевидная связь:

; ; .

Этими соотношениями следует пользоваться, когда возникает необходимость перехода от одной эквивалентной схемы источника к другой.

д. Согласование в цепи переменного тока. Коэффициент полезного действия.

В цепи переменного тока, состоящей из генератора с внутренним сопротивлением и сопротивлением нагрузки (рис.2.8а) энергия источника частично расходуется в активном сопротивлении r_н. Считая эту энергию полезной, установим, каким требованиям должно удовлетворять комплексное сопротивление Z_н, чтобы в его активной составляющей r_н выделялась наибольшая мощность.

Исходя из схемы с генератором эдс на основании (2.53) получим, что амплитуда тока в цепи

.

Активная мощность, расходуемая в сопротивлении r_н нагрузки,

Отсюда видно, что первым условием получения максимума P является равенство

(2.55)

Эквивалентная схема для этого случая изображена на рис. 2.9.

Мощность, выделяемая в сопротивлении r_н, становится равной

Дифференцируя по r_н и приравнивая производную нулю, находим второе условие, при выполнении которого активная мощность достигает наибольшего возможного (максимум максиморум) значения

. (2.56)

При этом активная мощность равна

Условия получения наибольшей мощности в нагрузке при питании ее генератором с заданными параметрами могут быть выражены одной формулой

или (2.57)

где - комплексное число, сопряженное

Если условие (2.57) выполняется, то говорят, что нагрузка и генератор согласованы. Для выполнения требования (2.55) в схему иногда вводят специальные реактивности соответствующих знаков, чтобы сумма реактивных сопротивлений, входящих в цепь, равнялась нулю.

Полученные условия согласования могут быть распространены и на частный случай цепи постоянного тока (ω=0), где всегда , и поэтому единственным требованием для получения максимальной мощности остается условие .

Так как мощность, выделяемая постоянным током I₀ в сопротивлении r_н, равна то максимально возможная мощность будет где E₀- эдс генератора постоянного тока.

Когда в сопротивлении нагрузки выделяется полезная мощность P, в цепь от генератора поступает мощность

P₀=P+P_i,

где P_i – мощность, расходуемая внутри генератора, которую следует считать бесполезно потерянной.

Коэффициент полезного действия (кпд) равен

(2.58)

Желательно, чтобы при заданной полезной мощности кпд был достаточно велик.

Многие реальные генераторы не имеют внутренних потерь в режиме холостого хода (I=0). Поэтому эквивалентной схемой для определения теряемой в генераторе мощности и его кпд может служить схема с генератором эдс. Принимая для расчетов эту схему и имея в виду, что а получим, что кпд

(2.59)

Как показывает полученное соотношение (2.59), при заданном R_i максимум полезной мощности и наилучший кпд несовместимы.

В режиме согласования, когда и полезная мощность максимальна, кпд равен 50%, т.е. внутри генератора расходуется такая же мощность, как в нагрузке, а отдаваемая генератором мощность вдвое превосходит полезную. При полезная мощность падает с ростом , в то время как кпд продолжает расти, стремясь к единице.

В тех случаях, когда соображения экономичности являются решающими, следует выбирать режим цепи при равенстве . Так поступают, например, в электротехнике в случаях преобразования или передачи на расстояние больших мощностей.

Могут быть и иные случаи, когда осуществление высокого кпд не играет существенной роли, а основное требование заключается в получении возможно большей полезной мощности. С этим встречаемся в некоторых радиотехнических цепях при преобразовании маломощных сигналов; тогда следует добиваться режима согласования.

16