Контрольные вопросы

1. При каком значении коэффициента корреляции наблюдается наиболее тесная связь?

2. При каком значении коэффициента корреляции наблюдается обратная связь между признаками?

3. При каком значении коэффициента корреляции наблюдается прямая связь между признаками?

4. Для изучения чего используется корреляционный анализ?

5. Что определяет частный коэффициент корреляции?

6. Какие значения может принимать частный коэффициент корреляции?

7. Какие значения может принимать множественный коэффициент корреляции?

8. Что позволяет определить корреляционный анализ?

Тема 8. Использование регрессионного анализа при моделировании социально-экономических явлений

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины (называемой зависимой или результативным признаком) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов).

Регрессия может быть однофакторной (парной) и многофакторной (множественной).

По форме зависимости различают линейную и нелинейную регрессию.

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: факторным и результативным. Аналитическая связь между ними может быть представлена уравнениями:

• прямой

;

• гиперболы

; (30)

• параболы

.

Определить тип уравнения можно из следующих условий:

а) если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то связь между ними – линейная;

б) если результативный и факторный признаки изменяются в обратной пропорции, то связь – гиперболическая;

в) если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее, то используется параболическая или степенная регрессия.

Оценка параметров уравнений регрессии производится на основе метода наименьших квадратов, который изучается в курсе высшей математики.

Для парной линейной регрессии система нормальных уравнений, полученная на основе метода наименьших квадратов, име- ет вид

(31)

где n – объем исследуемой совокупности числа единиц наблю- дения.

В уравнениях регрессии параметр а₀ показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов, а параметры а₁, …, а_n показывают, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного признака на единицу.

Пример. Имеются исходные данные, приведенные в табл. 20. В предположении наличия линейной связи между факторными и результативным признаками построить уравнение парной линейной регрессии.

Таблица 20

Исходные данные

Область	Доля денежных доходов, направленных населением на прирост сбережений во вкладах, в общей сумме среднедушевого денежного дохода, %	Среднемесячная начисленная заработная плата, у.д.е.
	yi	xi
Калужская	8,4	343
Костромская	6,1	356
Орловская	9,4	289
Рязанская	11,0	341
Смоленская	6,4	327
ИТОГО:	41,3	1656

Для решения системы нормальных уравнений (31) вначале необходимо определить значения величин ∑ х, ∑ у, ∑ х² и ∑ ху. Эти значения определяем из таблицы исходных данных, дополняя ее соответствующими данными (табл. 21).

Таблица 21

К расчету коэффициентов регрессии

№ п/п	yi	xi
1	8,4	343	117649	2881,2
2	6,1	356	126736	2171,6
3	9,4	289	83251	2716,6
4	11,0	341	116281	3751,0
5	6,4	327	106929	2092,8
Итого	41,3	1656	551116	13613,2

Тогда система (31) приобретает вид

Выражая из первого уравнения системы a₀ и подставляя полученное выражение во второе уравнение, получим

,

.

Производя почленное умножение и раскрывая скобки, получим

.

Откуда

.

Тогда

.

Окончательно уравнение парной линейной регрессии, связывающее величину доли денежных доходов населения, направленных на прирост сбережений у с величиной среднемесячной начисленной заработной платы х, имеет вид

. (32)

Оценка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости коэффициента регрессии с помощью t-критерия Стьюдента:

, (33)

где – дисперсия коэффициента регрессии.

Параметр модели признается статически значимым, если выполняется условие

, (34)

где  – уровень значимости (в расчетах принимается 0,05); n = (n –2) – число степеней свободы, которое характеризует число свободно варьирующихся элементов совокупности;

Значение t_кp может быть определено либо по специальным статистическим таблицам, либо с помощью статистической функции СТЬЮДРАСПОБР табличного процессора MS Excel.

Дисперсию в первом приближении можно определить по зависимости

. (35)

Проверка адекватности регрессионной модели в целом осуществляется с помощью расчета F-критерия ФИШЕРА и величины средней ошибки аппроксимации .

Примечание. Аппроксимировать – значит описать приблизительно.

Расчетное значение критерия Фишера F_р определяется по зависимости

, (36)

где факторная дисперсия равна

; (37)

остаточная дисперсия равна

. (38)

Если F_р  F_кр при  = 0,05 , то H₀ – гипотеза о несоответствии заложенных в уравнении регрессии связей реально существующим отвергается. Величина F_кр может быть определена либо по специальным статистическим таблицам, входом в которые являются величины  = 0,05 и числа степеней свободы: v₁ = 1, v₂ = n – 1, где n – число наблюдений, либо с помощью статистической функции FРАСПОБР табличного процессора MS Excel.

Значение средней ошибки аппроксимации определяется по зависимости

(39)

и не должно превышать (12…15) %.

Важным, с практической точки зрения, является определение коэффициента эластичности, который показывает, на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного на 1 %:

, (40)

где – среднее значение факторного признака; – среднее значение результативного признака; а₁ – значение коэффициента регрессии при факторном признаке.

Здание к лабораторной работе № 8 «Использование регрессионного анализа при моделировании социально-экономических явлений»

Цель работы: научиться формировать и анализировать уравнения парной линейной регрессии.