Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки.
Статистической оценкой θ* параметра неизвестного распределения θ называют функцию f(x1, x2,…, xn) от наблюдаемых случайных величин X1,X2, …, Xn.
Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом θ*= f(x1, x2,…, xn), где x1, x2,…, xn – это результат n-наблюдений над количественным признаком X, то есть реализация случайных величин X1,X2, …, Xn.
Несмещённой называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки:
М[θ*]=θ.
Смещённой называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.
Несмещённой оценкой математического ожидания (генеральной средней) служит выборочная средняя
где
хi – значение признака в в i-том наблюдении,
ni – число единиц со значением признака хi,
n – объём выборки.
Значение признака хi называется вариантой выборки, а ni - частотой варианты хi.
- объём
выборки равен сумме частот.
Смещённой оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия
.
Эта оценка является смещённой, потому что её математическое ожидание М[Dв]=(n-1)/n*Dг,
где Dг - дисперсия генеральной выборки.
Выборочная дисперсия рассчитывается по формуле:
.
Несмещённой оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:
S2=n/(n-1)*Dв.
Её математическое ожидание равно:
М[S2]=Dг.
При большом числе данных для расчёта дисперсии используется метод произведений или метод сумм.
Метод моментов.
Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же распределения.
Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка.
Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка, то есть ν1=Μ1, где ν1 - начальный теоретический момент первого порядка, Μ1 – эмпирический момент первого порядка.
Так как ν1=М[Х],
Μ1=
,
где
–
среднее выборочное значение.
Таким образом, математическое ожидание является функцией от неизвестного параметра заданного распределения.
Поэтому, решив уравнение Μ1= относительно неизвестного параметра, тем самым получим его точечную оценку. Если распределение определяется двумя параметрами, то можно приравнять два теоретических момента к двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.
Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка, а центральный теоретический момент второго порядка μ2 - центральному эмпирическому моменту второго порядка m2:
ν1=Μ1
μ2=m2
ν1=М[Х]
Μ1=
μ2=D[x]
m2=Dв
М[Х] =
D[x]=Dв
Левые части этой системы уравнения являются функциями от неизвестных параметров. Решив данную систему уравнения относительно неизвестных параметров, тем самым получим их точечные оценки. Для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии необходимо использовать выборочные данные x1, x2,…, xn.