Свойства коэффициента корреляции.

1. r_xy [-1,1].

2. Если Х и Y независимы, то r_xy=0.

3. Если Х и Y связаны линейной зависимостью вида Y=а+bX, то r_xy=1.

4. Если r_xy =1, то случайные величины Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью:

прямой – если r_xy=1, обратной - если r_xy=-1.

Функции случайных величин. Функции одной случайной величины.

Пусть рассматриваются две случайные величины Х и Y, которые связаны функциональной зависимостью вида Y= (X).

Если Х – дискретная случайная величина, закон распределения которой определяется формулой

,

то случайная величина Y также дискретна, а её закон распределения выражается следующим образом:

, где y_i = φ(x_i), а = .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Y вычисляется по формулам:

для дискретной случайной величины

М[Y]=М[ (X)]= ,

D[Y] = D[[ (X)] = Σ(y_i – m_y)² p_i = Σ( (x_i) – m_y)² p_i

и для непрерывной случайной величины

М[Y]=М[ (X)] =

D[Y]=D[ (X)]= .

Функция двух случайных величин.

Пусть рассматривается система двух случайных величин . Если каждой паре возможных значений случайных величин соответствует одно возможное значение Z= , которое находится по определённому закону, то случайная величина Z называется функцией двух случайных аргументов .

Для функции двух и более случайных аргументов удобнее сначала находить функцию распределения G(z), а затем плотность вероятности g(z):

.

Если - система дискретных случайных величин, то

,

где .

Если - система непрерывных случайных величин, то

,

где - плотность распределения случайной величины Z.

Важное значение имеет задача определения закона распределения суммы двух случайных величин:

Z= Х+Y.

Плотность распределения этой суммы равна:

или

Если случайные величины Х и Y независимы, то ,

и можно записать:

или

где , - плотности распределения случайных величин Х и Y.

Случайные функции.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ.

Cлучайной функцией X(t) называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении t является случайной величиной. Если аргументом случайной функции является время, то случайная функция называется случайным процессом.

Сечением случайной величины X(t) называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной величины t.

Реализацией случайной функции X(t) называют неслучайную функцию аргумента t – x(t), которой соответствуют значения случайной функции, являющиеся результатом испытания.

Случайную функцию можно рассматривать как совокупность неслучайных величин {x(t)}, зависящих от параметра t, или как совокупность её возможных реализаций.

Характеристиками случайной функции называют её моменты, которые являются неслучайными функциями.

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называют неслучайную функцию m_x(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента равно математическому ожиданию сечения, соответствующего этому же значению аргумента:

m_x(t)=М[X(t)].