Вероятность случайного события.

Вероятность – численная мера, которая определяет степень возможности появления случайного события в рассматриваемом опыте.

Если А - случайное событие, то р(А) – вероятность наступления события А. Вероятность р(А) можно рассматривать как функцию множества А, которая отображает множество А на отрезок [0;1]. Чем больше значение функции р(А), тем больше вероятность того, что событие А произойдёт.

Свойства вероятности

0 ≤ р(А) ≤ 1

р(А)=0 – вероятность невозможного события

р(А)=1 – вероятность достоверного события

Классическое определение вероятности события

Если множество Ω состоит из n равновозможных элементарных событий, то вероятность события A определяется по формуле

р(А)=m(A)/n,

где m(A) – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A, а n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример.

Событие A – выпадение при бросании игральной кости четной грани, а событие В – нечётной.

A={_2,₄ , ₆}

В={_1, ₃, ₅}

m(A)=3

n=6

р(А)=m(A)/n=3∕6=1∕2.

Значит, 50 % исходов испытания – выпадение четной грани.

р(А×В)=m(AВ)/n=2/6=1/3.

Частотный метод определения вероятности.

Классический метод определения вероятности не всегда применим. На практике чаще используют второй метод – частотный. Получаемая вероятность называется эмпирической (опытной).В этом случае производятся реальные опыты. Обозначим число проведенных опытов N.

Относительная частота f_N(А) появления события А в N опытах опре деляется равенством:

f_N(А)=М(А)/N,

где N – общее число проведенных опытов, М(А) – число опытов, которые закончились событием А.

При бесконечном увеличении общего числа всех опытов справедливо равенство:

,

т.е. при увеличении общего числа опытов относительная частота f_N(А) сходится по вероятности к теоретической вероятности р(А)

Основные формулы теории вероятностей Независимость случайных событий.

Различные события могут быть связаны причинно-следственными связями. Но теория вероятностей изучает вероятностную связь, которая проявляется и тогда, когда отсутствует причинно-следственная связь.

Например, в опыте с бросанием кубика определим события А и B следующим образом: А ={_1,₂, ₃ ₆}, B={₂,₄,}. Подсчитаем вероятности событий А и B. Соответственно р(А)= 4∕6, р(В)= 2∕6. Если известно, что в результате опыта произошло событие B, то можно определить вероятность того, что одновременно произошло и событие А. Обозначим эту вероятность р(А|В). В общем случае вероятность р(А|В) называется условной вероятностью события А, при условии что произошло событие В. В нашем примере эта вероятность равняется 1/2. Действительно, событие В содержит два возможных исхода опыта - ₂ и ₄. Исход ₂ содержится и в событии А. Если реализовалось событие В, то один из двух возможных исходов будет благоприятствовать событию А. Следовательно, р(А|В) = 1/2. В данном случае мы воспользовались классической формулой вычисления вероятности. Заметим, что здесь рассматривается другой, отличный от первоначального, опыт.

Условную вероятность события А можно вычислить по формуле:

р(А|В)=р(А×В)/р(В), (р(В) ≠ 0).

Аналогично, условную вероятность события В можно вычислить по формуле:

р(В|А)=р(А×В)/р(А), (р(А) ≠ 0).

События А и B называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло другое или нет.

Если события независимые, то условная вероятность равна безусловной вероятности этого события:

Р(А|В)=Р(А).

Эту формулу можно использовать для определения независимости событий, при условии р(В) ≠ 0.